为什么反双曲正弦函数的值是ln

Question

如题所述

Answer 1

反双曲正弦函数的值ln的原因：
双曲正弦函数记作sinh(x)，定义是(e^x - e^-x) / 2。
反双曲正弦函数记作arsinh(x)或sinh⁻¹(x)，定义是：arsinh(x) = ln(x + sqrt(x² + 1))。
所以反双曲正弦函数的值是ln。

Answer 2

∵shx=[e^x-e^(-x)]/2
=[(e^x)^2-1]/(2e^x)
∴令y=[(e^x)^2-1]/(2e^x)
2ye^x=(e^x)^2-1
(e^x)^2-2ye^x-1=0
把e^x视为一个整体，并配成完全平方：
[(e^x)^2-2ye^x+y^2]-y^2-1=0
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x-y=±√(y^2+1)
e^x=y±√(y^2+1)
∵e^x>0，而y<√(y^2+1)
∴e^x=y+√(y^2+1)
x=ln[y+√(y^2+1)]
根据习惯，将x、y交换，得到：
y=ln[x+√(x^2+1)]
即：反双曲正弦函数：arshx=ln[x+√(x^2+1)]