正多边形的面积公式，求图

Question

如题所述

Answer 1

有。
设正n边形的面积为s，
则，s=(1/2)nr^2*sinα=nr^2tan（α/2)
式中，n--边数，r--三角形的外接圆的半径，r--三角形的内切圆的半径，α--一边所对的圆心角（以度计）
证明也很简单。
正n边形可分割成n割等腰三角形，按上述参数计数三角形的面积加起来就是正n边形的面积，当然有点技巧。
现证明如下。
(1)设正n边形的边长为ab,o为三角形外接圆心(内切圆与之同心）,
连接oa、ob,得一三角形aob，其面积为：s'aob
则，s'△aob=(1/2)*ab*rcos(α/2)
且，ab/2=rsin(α/2),即ab=2rsin(α/2)
故，s'△aob=(1/2)*2r^2sin(α/2)cos(α/2)
s'△aob=(1/2)r^2sinα
正n边形的面积s=n*s△aob
故，s=(1/2)nr^2sinα
（2）再证以内切圆半径r和圆心角α表示的正多边形的面积s
证：因r是圆o的外切正多边形的边心距，也是△aob的ab上的高（r)
s''△aob=(1/2)*ab*r
此时，ab/2=rtan(α/2),故ab=2rtan(α/2)
s''△aob=(1/2)*2r^2tan(α/2)=r^2*tan(α/2)
故，正n边形的面积s=n*s''△aob=nr^2*tan(α/2)
---全部证毕。

Answer 2

假定正多边形边数为N,设边长为a,将各个顶点与正多边形的外接园圆心O相连,得到N个等腰三角形.
取一个三角形,顶角O的角度为
θ=360/N,
顶角对应的边上的高位h=1/2
*
a
*
ctan(1/2θ)
可以很简单的求的,这个三角形的面积为S1=1/2
*
a*h=1/2
*
a*1/2
*
a
*
ctan(1/2θ)=1/4*（a²
）*ctan(1/2θ)
则正多边形的面积为S=N*S1