问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90

Question

问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是A B的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

Answer 1

（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵CA=CB， ∴∠A=∠B， ∵O是AB的中点，∴OA=OB． ∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°， ∴在△OMA和△ONB中 ， ∴△OMA≌△ONB（AAS）， ∴OM=ON． （3）解：OM=ON，OM⊥ON． 理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线． ∵∠ACB=90°，∴OC= AB=OB， 又∵CA=CB， ∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠2=∠B， ∵BN⊥DE，∴∠BND=90°， 又∵∠B=45°，∴∠3=45°， ∴∠3=∠B，∴DN=NB． ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°． 又∵BN⊥DE， ∴∠DNC=90° ∴四边形DMCN是矩形， ∵DN=MC，∴MC=NB，∴△MOC≌△NOB（SAS）， ∴OM=ON，∠MOC=∠NOB， ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON， 即∠MON=∠BOC=90°，∴OM⊥ON．