问题情境:将一副直角三角形(Rt△ABC和Rt△DEF)按图一所示的方式摆放,其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，

Question

O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由。

将图1中的RT△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线于DE垂直相交于点N，连接OM　　ON，试判断OM ON的数量关系与位置，并写出证明过程。

Answer 1

1
D与O重合时：
由于角C=角FOE=角CMO=角CNO=90度，所以四边形MONC是矩形
O是AB中点，所以CO是角C的平分线，即角OCM=45度，
又角CMO=90，所以角COM=45，于是CM=OM，所以四边形MONC是正方形，所以OM=ON

2
D在BA延长线上时：
同1易证明CMDN是矩形，得CN=DM，
又角DAM=45度，得三角形DMA是等腰三角形，即DM=AM，于是CN=AM -------（1）
连CO，由于O是AB中点，角C是直角且AC=BC，容易证明AO=CO -------（2）

角MAO=180-角DAM=180-45=135
角NCO=180-角BCO=180-45=135
所以角MAO=角NCO ----------（3）

由（1）（2）（3）得 三角形MAO 全等于三角形NCO
所以OM=ON

Answer 2

证明：∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
∠A=∠B OA=OB ∠AMO=∠BNO，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．