如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、
如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.
| (1) y=-（x+1）（x-4）=-x 2 +3x+4 (2)存在符合条件的P点 (3)存在 |
| 试题分析：（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD 2 =OB?OC； 则OB=OD 2 ÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为： y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有： a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x 2 +3x+4； （2）因为A（-2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立抛物线的解析式可求得F （1-  ，3- ），G（1+ ，3+ ）； 设P点坐标为（x，x+2）（1- ＜x＜1+ ），则Q（x，-x 2 +3x+4）； ∴PQ=-x 2 +3x+4-x-2=-x 2 +2x+2； 易知M（ ， ）。 若以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直 角顶点，PQ为斜边，则P（2- ，4- ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；P（  ， ）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）； 设P点坐标为（m，m+2）， 则Q（m，-m 2 +3m+4）；（1- ＜m＜1+ ） ∴PQ=-m 2 +2m+2，NM=  ； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ，即：-m2+2m+2= ， 解得m=  ，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q（ ， ） 此时PM≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN，此 时P点坐标为（  ， ）．∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（ ， ）．点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定， 等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别 注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件． |
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