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设A是秩为r的n阶矩阵
线性代数
设A为n阶
实对称
矩阵
,若A^3=0,则必有A=0
答:
是正确的的。证明如下:A^3=0 所以,A的特征值满足x^3=0 即x=0,A只有特征值0(n重)从而A=0。如果有
n阶矩阵
A,其矩阵的元素都为实数,且
矩阵A的
转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标),则称
A为
实对称矩阵。
设A为n阶矩阵
,满足A²=A.试证:
r
(A)+ r(A-I)=n
答:
具体回答如图:
n阶
行列式等于所有取自不同行不同列
的n
个元素的乘积的代数和,逆序数为偶数时带正号,逆序数为奇数时带负号。
设A
B
为n阶矩阵
r(X)
为矩阵的秩
,(X Y)表示分块矩阵。B为什么不对
答:
此题表示固定A B的行,对列向量进行研究,a选项B右乘A,相当于对A列向量的运算组合(类似初级
矩阵
右乘列变换),不改变A列向量对应行的饱和度
r
,b选项B左乘A,改变了
A的
行,从而列向量饱和度r可能变化,c选项A与B的列向量饱和度r可能互补,总饱和度r增加,应该为大于等于号。
...m*
n矩阵
,证明:
R
(A)=r的充分必要条件是存在
秩为r的
m*
r矩阵
B和秩为r...
答:
必要性:
R
(
A
)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ,其中 D= I_r 0 0 0 由此可以构造出A=BC (注意,不是AB=C)充分性:考虑B和C里面的满
秩r
xr子阵即可
...
r
(A)=r<n。证明A可以写成n-r个
秩为
n-1
的n阶矩阵
的乘积
答:
考虑
矩阵A
,既然r(A)=r,则必然存在变换矩阵M,N使得 M Ar N =A,其中Ar是它标准型,左上角是个
r阶
单位矩阵,其他全部是0,由前面可以知道, Ar = P P P ... P E Q Q Q...Q,其中P,Q个数都是n-r个 而MP,n-r-2个PQ,及QN
都是秩为n
-1矩阵,他们乘积就是A ...
设A为n阶方阵
,已知
R
(A) =n,则下面说法不正确的是
答:
解:根据
矩阵秩
的基本性质:若AB=O【
A是
m×
n
,B是n×l】,则
R
(A)+R(B)≤n ① A、∵B是非零矩阵 ∴R(B)≥1 又R(A)=n ∴R(A)+R(B)≥n+1,显然与①矛盾。
若
矩阵A的秩r
(A)=
n
,则矩阵A存在n个线性无关的行向量.为什么?
答:
矩阵的秩等于
其行向量组的秩等于其列向量组的秩 此即三秩相等定理 由
r
(A) = n,所以其行向量组的
秩为n
,所以
A的
行向量组的一个极大无关组就
是n
个线性无关的行向量
线性代数
设A为n
(n>2)
阶
实对称
矩阵
,A^2=A,
秩
(A)=
r
数学
答:
A^2=A,A的特征值是0和1.因为
A是
实对称
矩阵
,可对角化,所以
A的秩
就是对角化后非零主对角线元素的个数,所以A的特征值是
r
个1与
n
-r个0.所以2E-A的特征值是r个1与n-r个2,所以|2E-A|=2^(n-2).
设A是
m×
n矩阵
,C是
n阶
可逆矩阵,
矩阵A的秩为r
,矩阵B=AC的秩为r1,则...
答:
∵C是
n阶
可逆矩阵∴C可以表示成若干个初等矩阵之积,即C=P1P2…Ps,其中Pi(i=1,2,…,s)均为初等矩阵.而:B=AC,∴B=AP1P2…Ps,即B是A经过s次初等列变换后得到的,又初等变换不改变
矩阵的秩
∴
r
(B)=r(AC)=r(A)=r1故选:C.
设A
,B均
为n阶矩阵
,若AB=0,那么rA+rB
等于
多少?
答:
B=0 则B的列向量都是齐次线性方程组 AX=0 的解 所以B的列向量可由AX=0 的基础解系线性表示 AX=0 的基础解系含
n
-
r
(A) 个向量 (这是定理)所以 r(B) <= n-r(A)
<涓婁竴椤
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
涓嬩竴椤
灏鹃〉
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