我晕,平面几何,N年前就不用了,早忘光了,高数还有些印象的,给出个高数的解法吧,希望对楼主有点启发。
因为对称,只考虑半圆的草场,设草地半径为a,绳半径为b
a与b夹角为θ°,木桩为圆心O点,2a方向为坐标轴,半个草地在坐标轴上方,则cosθ°=b/2a
以2a方向为R轴,θ=θ°,O为原点 建立极坐标系(R,θ°),
积分法求曲边扇型面积公式为A=∫1/2*R(θ)^2dθ积分限为(α,β)
半径为a的圆的极坐标方程为r=2a*cosθ°
半径为b的圆弧的极坐标方程为r=b
所以分别在(0°,θ°)和(θ°,90°)内求积分,之和
∫1即为羊吃草的面积的一半。
所以∫1= ∫1/2*b^2dθ积分限为(O°,θ°)+∫1/2*(2a*cosθ°)^2dθ 积分限为(θ°,90°) 这个积分不难解,隐约记得是高等数学第一册的习题吧,求解cosθ°平方的积分先用倍角公式降次化为cos2θ°形式然后用积分公式∫cos2θ°dθ=1/2*sin2θ即可求出具体答案,我毕业年头久了点,具体计算就不计算了,手太生,楼主要具体结果的话,找个大二理科学生手算就可以求出来了。求出∫1即为羊吃草的面积的一半。
然后求草地面积的一半设为S,则S=1/2*лa^2
由题意,S=2*∫1,可以推出一个只含a,b两个未知数的等式,解应该是个隐函数,即F(a,b)=0形式
不一定能化成a=f(b)形式,如果能化成a=f(b)形式
则a/b=f(b)/b就是答案。
楼主说从小学到高中的老师都不能完整解出来,不一定就是老师们水平低,只是老师常年教初等数学,高数的知识不常用,生疏罢了,这道题你随便找个大一大二学生,应该很简单一道题。其实很多中学数学中的一些“难题”,在初等数学范围内要靠技巧,但是用高等数学的方法,就变成机械的解方程了。学了高等代数后,读研究生再学拉普拉斯变换后,可以轻松用矩阵法或者变换法化多元高次微分方程为线性方程,线性方程即可用四则运算求解了。
所以楼主大可不必花大量时间,来研究一些题目的初等数学解法,因为初等数学的局限性太大了,近代科学从牛顿和莱布尼兹引入极限后,才进入黄金时期,科技才飞速发展,微积分是现代自然科学的基础,学了微积分,才进入了科学的大门,所以楼主有时间可以自学高数和线代,之后回头再看高中的题目,会有一览重山小的感觉。
参考资料:同济大学的高等数学,或者微积分的书都可以