1.试证对于平面上平移、旋转、位似变换(位似比小于1)的任意复合(不包括单纯的平移),总存在一个不动点。
2.该书对复合函数的定义中指出f:X→Y,g:Y→X,且g定义在f的值域(设为B)上,那么有Y包含于B,又显然有B包含于Y,那么有B=Y,这说明f必须是满射,是吗?换句话说如果X是一元集,Y是二元集,那么f与g不能复合。但是后面有一道习题却出现了f与g复合的情况,矛盾了!
我个人认为f必须是满射是荒谬的,张筑生的数学分析新讲上就说只需要f的值域(B)包含于g的定义域(Y),那么“g定义在f的值域”这句话是不是有问题(这两种说法显然是矛盾的),或者是我理解错了?
第一题我还没学泛函分析,而且这道习题出现在第一章,极限都还没有学,可不可以这样解:即对平面上任意点x(x为该点所对应的复数),可以证明平移、旋转、位似变换均是对x作变换:ax+b(a,b均是复数且由变换的各参数决定),于是其复合也是这样的变换f:x→ax+b,这样不动点就是满足a'x+b'=x的点x,解方程即可。第二题我个人认为还是要追求定义的严谨性的。即g的定义域与f的值域究竟是什么关系,包含还是包含于?