初等矩阵是什么，有什么特征吗？

Question

如题所述

Answer 1

初等矩阵是指一个方阵，它是通过对单位矩阵进行一次基本行变换（或列变换）得到的。基本行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍；同理，基本列变换包括交换两列、某一列乘以非零常数、某一列加上另一列的若干倍。
初等矩阵具有以下特征和性质：
1. 行等价性：两个矩阵A和B是行等价的，如果可以通过一系列的初等行变换将A变为B。由于初等矩阵可以表示基本行变换，所以初等矩阵是保持行等价性的关键。
2. 可逆性：每个初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵也是一个初等矩阵。这是因为初等行变换具有逆运算。
3. 矩阵乘法的性质：设A是m×n的矩阵，E是一个可逆的n×n的初等矩阵，则E*A等于将A的每一行左乘E得到的新的矩阵。
4. 行列式的性质：对于n阶方阵，设E是一个可逆的n×n的初等矩阵，则det(E)等于1。
初等矩阵在线性代数和矩阵理论中具有重要的应用。它们可以用于求解线性方程组、求逆矩阵、求行列式等。通过初等矩阵的运算，可以方便地对矩阵进行简化和求解。

Answer 2

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。[1]

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

因为单位矩阵的行列式|E|=1，而初等矩阵Eij是单位矩阵交换其中两行(列)后得到的可逆矩阵，根据行列式的性质，Eij其行列式|Eij|=-|E|=-1。

它相当于单位矩阵交换两行，交换一次当然就有一个-1系数啊