弦切角定理

Question

EP为⊙O的切线。
证明：∠EAC=∠ABC;∠PAB=∠ACB

Answer 1

弦切角定理： 弦切角 的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做 弦切角。如上图所示：弦切角定理，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。


弦切角定理的证明：做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互余，其中非经过切点的一个角称为∠P，与∠A为同弧上的圆周角，所以相等。即∠A=∠P。因为过切点的直径垂直于切线，这个直径和切线组成的角为直角，弦把这个角分成两个互余小角：弦切角和那个与∠P（=∠A）互余的角。由于其中一角既和∠A互余又和弦切角互余，所以弦切角=∠A，即弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等。

Answer 2

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数；与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角。

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角；若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。 

扩展资料：

弦切角的逆定理：

定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。

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Answer 3

证明：

连接AO并延长，交⊙O于D，连接BD、CD。

∵EP是⊙O的切线，

∴∠EAD=∠PAD=90°，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=∠ABD=90°，

∵∠EAC+∠CAD=90°，

  ∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠EAC=∠ADC，

∵∠ABC=∠ADC（同弧所对的圆周角相等），

∴∠EAC=∠ABC，

同理：

∠PAB=∠ACB。

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Answer 4

做过切点的直径，连接弦和这条直径的另一端，先说明直径所对的圆周角是直角，然后直径和弦所在的直角三角形的两个锐角就互补，然后过切点的直径垂直于切线，弦和切线把这个直角分成两部分，其中有一个是上面那个直角三角形的一个锐角，然后用等式性质减去重复的部分，剩下的就是弦切角和所夹的弧所对的圆周角相等了。
看这个证明要有耐心，没有办法画图，所以你画个图再看我的证明 应该会明白吧~~~

Answer 5

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）
分三种情况：
（1）　圆心O在∠BAC的一边AC上 　　∵AC为直径，AB切⊙O于A， 　　∴弧CmA=弧CA 　　∵为半圆, 　　∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角
（2）　圆心O在∠BAC的内部. 　　过A作直径AD交⊙O于D, 　　若在优弧m所对的劣弧上有一点E 　　那么，连接EC、ED、EA 　　则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB 　　∴ ∠CEA=∠CAB 　　∴ （弦切角定理）
（3）　圆心O在∠BAC的外部, 　　过A作直径AD交⊙O于D 　　那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 　　∴∠CDA=∠CAB 　　∴（弦切角定理）