怎么用三角函数求积分啊？

Question

如题所述

Answer 1

我们可以使用三角恒等式将被积函数中的三角函数转换成幂函数，然后使用换元法或者部分分式分解来求解。
具体地，我们有：
sin^6x = (sin^2x)^3 = (1-cos^2x)^3 = 1 - 3cos^2x + 3cos^4x - cos^6x
因此，
∫(sinx)^6 dx = ∫[1 - 3cos^2x + 3cos^4x - cos^6x] dx
我们可以依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，而cos^2x的积分是 sinx/2 + x/2，cos^4x的积分是 (3/8)sin2x + (3/4)x，而cos^6x的积分可以使用三角恒等式变成：
cos^6x = (cos^2x)^3 = (1-sin^2x)^3 = 1 - 3sin^2x + 3sin^4x - sin^6x
因此，
∫cos^6x dx = ∫[1 - 3sin^2x + 3sin^4x - sin^6x] dx
我们再次依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，而sin^2x的积分是 (1/2)x - (1/4)sin2x，sin^4x的积分可以使用三角恒等式变成：
sin^4x = (1-cos^2x)^2 = 1 - 2cos^2x + cos^4x
因此，
∫sin^4x dx = ∫[1 - 2cos^2x + cos^4x] sinxdx
我们再次依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，cos^2x的积分可以使用三角恒等式变成：
cos^2x = (1+cos2x)/2
因此，
∫cos^2x sinxdx = ∫[(1+cos2x)/2] sinxdx = (1/2)∫sinxdx + (1/2)∫cos2x sinxdx = -(1/2)cosx + (1/4)sin2x
接下来我们把每一步的结果合起来，得到：
∫(sinx)^6 dx = x - 3/4sinx + 3/32sin2x - 1/32sin3x + 1/192sin4x - 1/192sin5x + C
其中C是一个常数，可以是任意实数。这就是所求的通解。