如下：
第一个条件得到在每个分量上都有界，因此不停取子列，最后取出子列的一个对角，得到一个子列，在上面每个分量都收敛，于是这些分量上收敛到的值构成一个数列，用第二个条件去证明这个数列属于lp，并且是这个子列的lp极限。
先取子列使第一分量收敛，再在这个子列中取一个子列使第二分量收敛，再在上面第二次取的子列中取子列使第三分量收敛，依次下去不停的取上面一步的子列的子列，使得依次去控制住一个分量使其收敛。
取对角的意思就是在这每步作出的子列中取一个元，使其下标越来越大。
这个极限序列属于lp确实用第一个条件足够了。当然，证明这个子列lp收敛到这个极限序列要用第二个条件。
在数学中， Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由 p次可和序列组成的空间。在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。
Lp空间在工程学领域的有限元分析中有应用。
当空间维度是无穷而且不可数的时候（没有一个可数的基底），无法运用有限维或可数维度空间的办法来定义范数，但对于可积函数空间，仍然能够定义类似的概念。具体来说，给定可测空间(S,Σ,μ)以及大于等于1的实数p，考虑所有从S到域（或）上的可测函数。
考虑所有绝对值的p次幂在S可积的函数，从不等式：|f+g|≤ 2(|f|+ |g|)可知，两个p次可积函数的和，也是一个p次可积函数。
另外，容易证明；闵可夫斯基不等式的积分形式说明三角不等式对成立。满足这样条件的构成一个半范数，令成为一个半赋范向量空间。之所以是半范数，是因为满足的函数不一定是零函数。然而可以通过一套标准的拓扑方法从这个半赋范空间得到一个赋范空间。
对可测函数来说，几乎处处为零（在测度μ意义下）。所以几乎处处为0，而同时也是的一个子空间。设是关于的商空间中的某个元素可以看作是所有和函数相差一个中元素的函数构成的等价类。这样定义的空间是一个赋范向量空间，称为S上函数关于测度μ的Lp空间。称为函数的p-范数。
需要注意的是，Lp空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将Lp空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。
与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样。
一致范数与p-范数之间存在发关系：可以证明，L空间是完备的空间，也即是说是一个巴拿赫空间（完备赋范向量空间）。Lp空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分的相关收敛定理来完成。