一道高考数学题

Question

椭圆x*x/（a*a）+y*y/（b*b）=1（不好输入，就是椭圆的标准方程）的两个焦点F1（-c，0）F2（c，0），M是椭圆上的一点，且满足F1M垂直于F2M。
（1）求离心率e的取值范围
（2）当离心率e取得最小值时，点N（3，0）到椭圆上最远距离为5倍根号2。1、求此时椭圆的方程。2、设斜率为k（k不等于0）的直线与椭圆相交于不同两点A，B Q是AB的中点，问AB两点能否关于过P（0，根号3/3）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围，若不能，请说明理由。

（主要是第二问，我算的第一问的答案是根号2/2<e<1）

Answer 1

1.离心率是根号2/2,则可设椭圆方程为x^2+2y^2=a^2
设椭圆上的任意一点为(asinθ，(根号2a/2)cosθ) (参数方程)
则点N（3，0）到该点的距离d^2=(3-asinθ)^2+a^2cos^2θ/2
展开并将cos^2θ转化为1-sin^2θ
得到:d^2=(a^2/2)sin^2θ-6asinθ+a^2/2+9
是一个以sinθ为变量的抛物线,开口向上,对称轴为6/a.
因为a>0,所以6/a>0
又因为函数图像的定义域[-1,1],对称轴大于0
所以函数最大值总在sinθ=-1时取得.
即(dmax)^2=a^2/2+6a+a^2/2+9=a^2+6a+9=(5根号2)^2
解得a=5根号2-3 (其实就是N到左端点距离最大)
然后可得椭圆方程为x^2+2y^2=59-30根号2

2.因为Q是AB中点且A,B关于PQ对称.所以PQ是线段AB垂直平分线.假设存在k.
可以设AB为y=kx+b.
具体算起来很麻烦,我提供一下思路.
将AB方程与椭圆方程联立,得到关于x的一元二次方程(设为方程*).将Q点坐标用k,b表示.
再将PQ斜率k'用k,b表示,最后根据kk'=-1解得b的值(不是k!)用k表示 ...1式
当然1个方程2个未知数是解不出的,也不可能解出,因为题目要你求的是范围.
所以还需要一个不等式,即方程*的deta>0 ....2式
将1式代入2式,即可得k的范围

注:第一问我没有算,是根据你提供答案算的.如果你第一问算错了也没关系,参考我的过程即可.过程比答案重要.

Answer 2

回答就可以得两分~
我当然来答~

不过~
这个题目我不会

Answer 3

太麻烦了，去请教老师把

Answer 4

这题我作出来了但更号太多不方便打 第一问你做错了你是否想过原点以C为半径作圆这种方法错了你可以换一种思路利用两直线垂直和讨论离心率e的变形式 有问题再问我 我以加你为好友

Answer 5

既然是高考题，希望你还是查查《五、三》吧
那里比较详细，这里说不清楚！祝你能查到

Answer 6

第二题中最远的点是椭圆的x横轴左端点,此时离心率已知,你可以根据离心率e=c/a设出椭圆方程为x*x/2c*c+y*y/c*c=1,则最远距离为3+c,由此可以求出c进而求出方程
第二问假设存在k,设直线方程为y=k*x+b,设A,B三点坐标为＜X1,Y1>,<X2,Y2>,将直线方程与椭圆方程连立，求出X1+X2=,X1*X2=,则Q点坐标为＜X1+X2/2,Y1+Y2/2>,既而列出PQ方程，注意AB,PQ两直线垂直，要利用斜率关系列一个方程，然后将所有方程汇总看是否能求出k.
建议：解析几何问题只要将所有条件用数学表表达式表达出来就能解决问题，这是通解通法，高考要求会通解通法就行．