已知三角形ABC,外接圆半径为R,内切圆半径为r,求两圆圆心距离。

Question

如题所述

Answer 1

这是：三角形欧拉公式d²=R²-2rR的推导，如下图所示：

解：设ΔABC的三个顶角分别为A、B、C，内切圆圆心为O，外接圆圆心为P；推导分三步，第一步：用余弦定理关注ΔOAP；第二步：用正弦定理关注ΔOAB；第三步：证明最终结论。第一步：用余弦定理关注ΔOAP：∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|，而由图易知：∠OAC＝A/2，∠PAC＝(π/2)－B，∴三角形的外接圆的圆心是其三边中垂线的交点，连接此交点与三顶点的连线，由此分析其顶角被连线分得的6个角之间一些角的关系，易知：∠OAP＝|∠OAC－∠PAC|＝| A/2－((π/2)－B )|＝| (π/2)－((A/2)＋B)|＝| (π/2)－(((π－(B＋C))/2)＋B)|＝| (B－C)/2|由余弦定理可知，在ΔOAP中有：cos∠OAP＝(AP²＋AO²－OP²)/(2×AP×AO)——（1）∵AP＝R、RtΔAOD中AO＝OD/sin(∠OAD/2) ＝r/sin(A/2)、OP=d；∴将各等量代入等式（1）得：cos| (B－C)/2|＝(R²＋(r/sin(A/2))²－d²)/(2×R×(r/sin(A/2)))化简上式，得：d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²——（2）第二步：用正弦定理关注ΔOAB：由正弦定理可知，在ΔABC中有：AB/sinC=2R——（3）∵在RtΔOAE和RtΔOBE中分别有：AE＝OE×cot∠OAE＝r×cot(A/2)，EB＝OE×cot∠OBE＝r×cot(B/2)，又∵AB＝AE＋EB∴将各等量代入等式（3）得：((r×cot(A/2))＋( r×cot(B/2)))/sinC＝2R由三角函数的一系列公式，来化简上式：r/R＝2×sinC/(cot(A/2)＋cot(B/2))＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2))/((cos(A/2)/sin(A/2))＋(cos(B/2)/sin(B/2)))＝2×(2×sin(C/2)×cos(C/2) ×sin(A/2)×sin(B/2))/(sin(A/2)×cos(B/2)＋cos(A/2)×sin(B/2))＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)∵sin((A＋B)/2)＝sin((π－C)/2)＝sin((π/2)－(C/2))＝cos(C/2)∴2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/sin((A＋B)/2)＝2×(2×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)×cos(C/2))/cos(C/2)＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)即r/R＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)——（4）第三步：证明最终结论假设等式（2）d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²中，－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立，由三角函数的一系列公式，来化简上式：r/R＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin(A/2))＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－sin((π－(B＋C))/2))＝2×sin(A/2)×(cos((B－C)/2)－cos((B＋C)/2))由和差化积公式，可知＝2×sin(A/2)×(－2)×sin(B/2)×sin(－C/2)＝4×sin(A/2)×sin(B/2)×sin(C/2)由等式（4）可知－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝－2rR成立，于是d²＝R²－2rR×(cos((B－C)/2)/sin(A/2))＋(r/sin(A/2))²＝R²－2rR即d²＝R²－2rR，则d＝√(R²－2rR)于是得到最终的结论，即三角形欧拉公式的内容为：任意三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，两圆圆心距为d，则有d²＝R²－2rR