已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1+4cosθy＝2+4sinθ（θ为参数），直线l经过定点P（3，5）

Question

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1+4cosθy＝2+4sinθ（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为π3．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为

x＝1+4cosθ y＝2+4sinθ

（θ为参数），
消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x-1）²+（y-2）²=16；
∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为

π

3

，
∴直线l的参数方程为：

x＝3+ 1 2 t y＝5+ 3 2 t

，t为参数．
（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，
得t²+（2+3

3

）t-3=0，
设t₁、t₂是方程的两个根，
则t₁t₂=-3，
∴|PA|?|PB|=|t₁|?|t₂|=|t₁t₂|=3．