有关圆与椭圆交点的矛盾 求高手指教

Question

圆的方程为(x-2)^2+y^2=5
椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
二式联立得
(x-2)^2-x^2/4=4
即
3x^2-16x=0
由韦达定理得
x1+x2=16/3
即
圆与椭圆的交点的横坐标之和为16/3
显然与图象不符
请高手指教
那为什么这里不能用韦达定理呢

为什么不能用韦达定理表示交点的横坐标
为什么会出现x=16/3这个不符事实的根呢

Answer 1

这里的x1、x2不是交点横坐标。
按照3x^2-16x=0解出来的两解x1=0，x2=16/3
x1=0，可得y=±1，这就是两个交点了。(0，1)、(0，-1)
x2=16/3，把它代入椭圆中时，得y²＜0，舍去。

韦达定理可以用，但是这里的x1x2只能表示方程3x^2-16x=0的两个根，不能表示交点横坐标。

在联立方程时，
(x-2)²+y²=5
x²/4+y²=1
通过把y²= 1- x²/4 代入到另一方程中，这里你只是把y²当成任意实数了。
假如我把上面两个方程换一下：
(x-2)²+m=5
x²/4+m=1
联立得到的仍然是：3x²-16x=0
但是上面的y²和下面的m显然是不同的，所以在联立方程时，y²＞0这个约束条件被丢了，
所以联立得到的方程并不能正确的表示交点横坐标的关系。

Answer 2

解：
椭圆与圆的交点是需要验根的；验证求取的解是否满足原方程。
出现不满足方程的解，原因如下：
两方程直接相加减，实质上是代入法的简约。
由圆的方程得：y^2 = 5-(x-2)^2 ---- (1)
由椭圆方程得：y^2 = 1 - x^2/4 ---- (2)
这两个表达式隐含着两个约束条件，即：
5-(x-2)^2 ≥ 0；1 - x^2/4 ≥ 0；
当我们通过等量传递得到方程 5-(x-2)^2 = 1 - x^2/4 的时候，在这个方程里
两个约束条件消失了，因此可能得出不满足曲线方程的解，故需要回过头检验求解结果是否满足原来的约束条件，即验根。