大学线性代数四阶行列式

Question

如题所述

Answer 1

题目具体一点？是想问四阶行列式如何求值么？
举一例：
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2 1 -5 1
1 -3 0 -6
0 2 -1 2
1 4 -7 6
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=27.

方法〇：利用软件计算。也常用于对手算结果进行验证。如mathematica, maple, matlab,excel.

我用excel计算的过程如下：
2 1 -5 1
1 -3 0 -6
0 2 -1 2
1 4 -7 6
步骤：
〇，运行excel，可调用开始菜单-运行，输入下面内容加回车：
excel
一，将它复制到内存剪贴板(快键是ctrl-C)；
二，调用菜单-编辑-选择性（快键是alt-ES）贴入到excel的A1单元格成为文本，
三、再调用菜单-数据-分列（快键是alt-DE），按逗号、分号、空格分列（还有按tab,其它符号分列）。
注：如果你此前调用过分列过程，再复制数据贴到此外，会自动分列的。
得到方阵是：
2 1 -5 1
1 -3 0 -6
0 2 -1 2
1 4 -7 6
四、在其它任意单元格输入函数= MDETERM(A1:D4)返回其行列式值。
注：determ 意即行列式。excel中表示矩阵(matrix)的运算，前面都加了字母M

由此算得此题结果是27.

另外，可以使用矩阵的变换或行列式的变换，如
（1）r[i]<-->r[j]，即交换两行，行列式的值改变为-1倍，即变号；
（2）a*r[i]+b*r[j]-->r[i]，行列式的值改变为a倍。其中的特例是a=1或b=0。
其它一般情形也是可以用的，只是要跟踪行列式的值变化的倍数。
基准二阶子式变换法，就是这种一般性的作法。

另例：计算行列式
-2,2,4,0;
4,-1,3,5;
3,1,-2,-3;
2,0,1,1

方法一：变换成为三角阵，包括上三角与下三角。
上/下三角阵，即对角线的下/上侧的元素全为0.

变换成为上三角阵。以下列i记成ci。
第一列的1,2倍分别加到2,3列：
-2,0,0,0;
4,3,11,5;
3,4,4,-3;
2,2,5,1
下面采用基准二阶子式变换法
c2*(-11)+>3*c3，即c2乘-11,c3乘3，相加，取代c3，此时行列式变大了3倍。
c2*(-5)+>3*c4，即c2乘-5,c4乘3，相加，取代c4，此时行列式变大了3倍。
故原行列式变成
1/9*
-2,0,0,0;
4,3,0,0;
3,4,-32,-29;
2,2,-7,-7

c3*(29)+>(-32)*c4，即c3乘29,c4乘-32，相加，取代c4，此时行列式变大了-32倍。
故原行列式变成
1/9*(-1/32)*
-2,0,0,0;
4,3,0,0;
3,4,-32,0;
2,2,-7,21
于是行列式值=-14.
其实到上面那一步之时，就可以看出结果了。

题：计算行列式：
-2,2,4,0;
4,-1,3,5;
3,1,-2,-3;
2,0,1,1

方法二：采用二阶子式计算法。如下：
先列出12行能构成的所有二阶子式，按12,13,14,23,24,34列，分别如下：
-6,-22,-10; 10,10,20
先列出34行能构成的所有二阶子式，按12,13,14,23,24,34列，分别如下：
-2,7,9; 1,1,1
再给出代数余子式的符号
+,-,+,+,-,+
注意是交叉取积，注意交叉！即相当于二阶子式乘以它的余子式，得
-6,-22,-10;90,70,-40
再将符号赋予之，即得到下列值，相当于二阶子式乘以它的代数余子式：
-6,22,-10,90,-70,-40
取和得
-14. 即为所求。

注：
方法一中，化为三角阵的计算过程，采用了二阶子式变换法。当然也可以灵活机动处理。
方法二，使用二阶子式计算。这是一种较为罕用的方法，但是不用操太多心，只要不出错，计算也很快的。
推荐方法二，结合方法〇用电脑检验计算结果。当然也可以方法一结合方法〇。在不便用电脑时，就用方法二结合方法一互为印证检验。这样不易出错。