设函数F(x)=lnx+x2-2ax+a2,a属于R 若函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围

Question

注意是存在单调递增区间，我觉得这句话是不是说导函数在定义域内能有一部分取正就好，求助我做的是a小于4.5就可以

Answer 1

设函数F(x)=lnx+x2-2ax+a2,a属于R 若函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围
解析：∵函数F(x)=lnx+x^2-2ax+a^2，其定义域为(0,+∞)
要使函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间
(1)若函数f(x)在定义域内单调增，则在［1/2,2]上存在单调递增区间；
F’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x
∵x>0==>2x^2-2ax+1>0
⊿=4a^2-8<0==>-√2<a<√2
即只要-√2<a<√2，则F’(x)>0, 函数f(x)在定义域内单调增
(2)令F’(x)=(2x^2-2ax+1)/x=0
∵x>0==>2x^2-2ax+1=0
X1=[a-√(a^2-2)]/2，X2=[a+√(a^2-2)]/2
若x1,x2存在，则须使a<=-√2或a>=√2
∴a=(2x^2+1)/(2x) (x>0)
令a’=(4x^2-2)/(4x^2)=0==>x=√2/2
当x=√2/2时，函数a取极小值√2
F’’(x)=2-1/x^2
当a>=√2时，x1>0,x2>0
F’’(x1<0，F’’(x2))>0
即函数F(x)在x1处取极大值；即函数F(x)在x2处取极小值；
X1=[a-√(a^2-2)]/2>1/2==>a<3/2
X2=[a+√(a^2-2)]/2<2==>a<9/4
取二者并，即当√2<=a<9/4，满足在［1/2,2]上存在单调递增区间

(3)当a<=0时，x>0==>2x^2-2ax+1>=1>0，即f’(x)>0
∴函数f(x)在定义域内单调增

综上，当a<9/4时，函数F(x) 满足在［1/2,2]上存在单调递增区间

Answer 2

设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a属于R （2012 03 13）
(1) 若a=0 求函数f(x) 在［1,e)上的最小值
(2) 函数f(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围
(3) 求函数f(x)的极值点
（1）a=0 f(x)=lnx+x^2 而y=lnx与 y=x^2都是增函数，所以当x=1时取最小值1
（2）根据题意当x属于［1/2,2]时存在，(函数的定义域为x>0)
f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0
即 2x^2-2ax+1 在x=1/2时大于0 推出a<3/2
或在x=2是大于0 推出a<9/4
最终取二者的并a<9/4
（3）f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0(函数的定义域为x>0)
g(x)= 2x^2-2ax+1
(a) 当a≦0 时 g(x)>0 恒成立f’(x)>0 函数f(x)没有极值点
(b) 当 a>0 时 （i） △≦0即0<a≦√2时，在定义域内g(x)≧0
恒成立函数f(x)没有极值点
(ii) △>0时即a>√2时 易知当

g(x)<0这时f’(x)<0 当 时g(x)>0 这时f’(x)>0所以a>√2时

是函数的极大值点

是函数的极小值点
综上所述当a≦√2时函数没有极值点 当a>√2时 是函数的极大值点 是函数的极小值点

Answer 3

F'(x)=1/x+2x-2a =(2x^2-2ax+1)/x 若函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间 即F'(x)>=0 在
［1/2,2]上有解 ==》2x^2-2ax+1>=0 即函数G（x）=2x^2-2ax+1 在［1/2,2]上有位于轴以上的点 画图解 or 变量分离 a<=(1+2x^2)/2x 先求(1+2x^2)/2x 在［1/2,2]上范围[min,max]
最后只需 a<=max 即可