高数一：几道题，求高手做！所有分都给他！求详细解释！

Question

1。当
x→0时，lim {(根号下(1＋tanx))-(根号下(1＋sinx))}/(x*cosx*sin(x的平方))

2。当x→无穷时，lim x[sin ln(1+3/x)- sin ln(1+1/x)]

3。设f(x)=[1－根号下（1＋2x)]/[1＋根号下（1＋2x)] 求反函数！

4。已知当x→无穷时,lim[(x-a)/(x-1)]的(x-1)次方＝e的（－2）次方，求a=

5。已知当x→无穷时,lim x的平方*[1-cos(1/x)]=

一共五个题，都是高等数学1的，就是公式不好写很麻烦，所有分数都给你们，希望能得到详细解答，或者发到[email protected] 谢谢了！
郁闷啊！其他的都抢着答，就是这个题目没人理睬，是不是中国没有学高数的了？

Answer 1

1 当 x→0时，lim {(根号下(1＋tanx))-(根号下(1＋sinx))}/(x*cosx*sin(x的平方))

=lim(1+tanx-1-sinx)/{x*1*x²*(根号下(1＋tanx))+(根号下(1＋sinx))}
分子：tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx =sinx(1-cosx)=1/2*x^3
分母：2x^3
极限=1/4

2。当x→无穷时，lim x[sin ln(1+3/x)- sin ln(1+1/x)] =lim [sin ln(1+3/x)- sin ln(1+1/x)] /(1/x)
根据和差化积公式：
sinA-sinB=2cos[(A+B)/2)]sin[(A-B)/2]
因此：分子=[sin ln(1+3/x)- sin ln(1+1/x)] =2cos{ln[1+(4x+3)/x^2]}sinln{1+[2/(x+1)]}
因为当X趋于0时，ln(1+x)趋于x
分子=2cos[(4x+3)/x^2]sin[2/(x+1)]=2*2/(x+1)=4/(x+1)
分母=1/X
所以原极限值为：4

3。设f(x)=[1－根号下（1＋2x)]/[1＋根号下（1＋2x)] 求反函数！
先用换元法，令[根号下（1+2x）]=t

f(x)=[1－根号下（1＋2x)]/[1＋根号下（1＋2x)]
=（1-t）/(1+t)
上式反函数为：t=(1-y)/(1+y)
即[根号下（1+2x）]=（1-y)/(1+y)
x=1/2*[(1-y)/(1+y)]^2-1/2
换成通常形式即y=1/2*[(1-x)/(1+x)]^2-1/2

4。已知当x→无穷时,lim[(x-a)/(x-1)]的(x-1)次方＝e的（－2）次方，求a=
lim[(x-a)/(x-1)]^(x-1)＝e^(-2)
两边取对数得：lim（x-1）ln[(x-a)/(x-1)]=-2
lim（x-1）ln[(x-a)/(x-1)]=lim ln[1+(1-a)/(x-1)] / (1/(x-1))
=lim [(1-a)/(x-1)]/[1/(x-1)]=lim 1-a=-2
所以 a=3

5。已知当x→无穷时,lim x的平方*[1-cos(1/x)]=
lim x的平方*[1-cos(1/x)]= [1-cos(1/x)]/(1/x^2)
因为当X趋于0时，1-cosx趋于[1/2 * x^2]
所以上式=(1/2*1/x^2)/(1/x^2)=1/2

Answer 2

我国的整体教育水平就这样啊,要是几道小学题悬赏20分的话,抢的人肯定多.