高等数学：可导函数的极值点与拐点

Question

如果是极值点，那么这点是不是拐点？
如果是拐点，那么这点是不是极值点？
还有就是有个结论：可导函数的拐点必定不是极值点。（对吗？）；反过来说，不是极值点一定是拐点吗？（对吗？）

Answer 1

你的问题基本可以说就是些概念性的问题，仔细看教材的话应该不成问题。我给你简单区分和解释一下：
首先，极值点是一个函数的局部性质，具体说是如果拿函数在此点的值与此点的一个小邻域内的其他值比较，取到最大或者最小，相应的就是极大值和极小值。这一概念与函数本身的可导性是没有关系的。但是对于一般的可微函数来讲，一阶导数为零的点往往就是一个极值点，但是也不是绝对的，比如f(x)=x^3，x=0并不是一个极值点。一般我们把f'=0的点叫做驻点，极值点只有两种情况，要么是驻点，要么是不可导点。反之，是不对的，不可导点或驻点不一定是极值点。
其次，拐点是函数图象凸凹性（有教材称为上凸和下凸）发生变化的点，所以叫做拐点，它与极值点没有本质上的关系，反应的是两个不同的数学性质。与极值点类似，拐点也是由两类点组成的：一是二阶导数为零的点，二是二阶导数不存在的点。

Answer 2

这是很容易混淆的两个概念。
1）如果函数在此点不可导，那么，极值点与拐点是可以为同一个的，比如分段函数：
当x<0时，f(x)=x^2；
当x≥0时，f(x)=√x
在x=0既是极值点，也是拐点。
2）如果函数是可导的，那么拐点必定不是极值点。判断是极值点还是拐点的方法，只需看其1阶，2阶，3阶.... n阶导数，看到哪一阶导数不为0，假设直到n阶才不为0，而前n-1阶都为0，那么如果n为奇数的话，这就是拐点；n为偶数的话，这就是极值点。

Answer 3

极值点与拐点没有必然联系
例如y=x^3,　(0,0)为拐点，但是x=0不是极值点
y=x^4, 　（0，0）不是拐点，而x=0是极小点

Answer 4

当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
极值点是函数图像的某段子区间内上最大值或者最小值点的横坐标。 　　极值点必然出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处。

Answer 5

拐点不一定是极值点，但是极值点必定是拐点。