2道高一数学题

Question

1.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时,f(x)=log2^（1+x），求解关于x的不等式f(x)<1
2.设函数f（x）=a-2的x次幂再加1分之1（也就是a-1/2^x+1）
（1）求证：不论a为何实数,f(x）在R上总为增函数
（2）确定a的值,使得f(x)为R上的奇函数

拜托各位大侠了。

Answer 1

1）当 x>0 时，由f(x)<1 得 log2(1+x)<1=log2(2)，所以 1+x<2，解得 0<x<1；
当x<=0时，f(x)=-log2(1-x)，由 f(x)<1 得 -log2(1-x)<1，
所以 log2(1-x)>-1=log2(1/2)，1-x>1/2，解得 x<1/2，
所以 不等式 f(x)<1 的解集是 （-∞，1/2）U（0，1）。

2）① 求导，f '(x)=2^x*ln2/(2^x+1)^2，
对任意实数 x ，f '(x)恒大于0，因此，f(x) 在R上为增函数。
②因为 f(x) 为R上的奇函数，所以 f(0)=0，解得 a=1/2，
而当a=1/2时，f(x)=1/2-1/(2^x+1)=(2^x-1)/[2(2^x+1)]，
显然定义域为R，定义域关于原点对称，
对任意实数x，f(-x)=[2^(-x)-1]/[2(2^(-x)+1]，分子分母同乘以 2^x 得
f(-x)=(1-2^x)/[2(1+2^x)]= - f(x)，
因此，f(x) 为R上的奇函数。
所以，所求的 a 的值为 1/2 。

Answer 2

①当x＜0时，-x＞0求得解析式f（x）＝-log2（1-x）当x＞0时，解得0＜x＜1，当x＜0时，解得-