求不定积分

Question

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∫1/[1+√(2x)] dx 题目提示是 第二类换元法
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∫1/[1+√(1-x^2)] dx 题目提示是 第二类换元法

∫cos ln x dx 题目提示用分部积分法

∫ (x^5+x^4-8)/(x^3-x) dx

∫ dx/ [x(x^2+1)]

∫sin x / [(3+cos x)^2] dx

∫ dx/(3+cos x)

Answer 1

1、∫1/[1+√(2x)] dx 题目提示是 第二类换元法
解：令t=√2x x=t^2/2 dx=t dt
∫ 1 / [1+√(2x)] dx =∫ t / (1+t) dt
=∫ 1 - 1 / (1+t) dt
=∫ 1 dt - ∫ 1 / (1+t) dt
=t - ln (1+t) + C
将t=√2x 代入其中，得： ∫ 1 / [1+√(2x)] dx = √2x - ln (1+√2x ) + C

2、 ∫1/[1+√(1-x^2)] dx 题目提示是 第二类换元法
解：令x= sin t dx=cost dt
∫ 1 / [1+√(1-x^2) ] dx = ∫ cost / (1+cost) dt
= ∫ [1 - 1 / (1+cost) ] dt
= ∫ 1 dt - ∫ 1 / (1+cost) dt
= t - ∫ 1 / cos(t/2)^2 d(t/2)
= t - tan(t/2) + C
将x= sint代入其中，得：∫ 1 / [1+√(1-x^2) ] dx = arcsinx - x / (1+ √(1-x^2) )+ C
3、∫cos ln x dx 题目提示用分部积分法
解：令A=∫ cos ln x dx ，则：
A=∫ cos ln x dx
=x cos ln x - ∫ x d(cos ln x)
=x cos ln x + ∫ x sin ln x (1/x) dx
=x cos ln x + ∫ sin ln x dx
=x cos ln x +x sin ln x - ∫ x d(sin ln x)
=x cos ln x +x sin ln x - ∫ x cos ln x (1/x) dx
=x cos ln x +x sin ln x - A
得A=(x cos ln x +x sin ln x ) / 2
4、∫ (x^5+x^4-8)/(x^3-x) dx
解：∫ (x^5+x^4-8) / (x^3-x) dx
= ∫ (x^5+x^4-8) dx/(x^3-x)
= ∫ (x^5 - x^3 + x^4 - x^2 + x^3 - x + x^2 + x-8) dx/(x^3-x）
= ∫ (x^2 + x + 1) dx + ∫ (x^2 + x - 8) dx/(x^3-x)
= x^3/3 + x^2/2 + x + ∫ (x^2+x) dx/(x^3-x) - ∫ 8 dx/(x^3-x)
= x^3/3 + x^2/2 + x + ∫ dx/(x-1) - 8 ∫ dx / [x(x-1)(x+1)]
= x^3/3 + x^2/2 + x + ln(x-1) + 4 ∫ dx / x(x-1)] - 4 ∫ dx / [x(x+1)]
= x^3/3 + x^2/2 + x + ln(x-1) + 4∫ dx / (x-1) - 4 ∫ dx / x - 4∫ dx/x + 4∫ dx(x+1) =x^3/3 + x^2/2 + x + 5ln(x-1) - 5lnx + 4ln(x+1) + C
5、∫ dx/ [x(x^2+1)]
解：∫ dx/ [x(x^2+1)]
= ∫ 1/x - x / (x^2+1) dx
= ln x - ∫ x / (x^2+1) dx
= ln x - 1/2 ∫ 1 / (x^2+1) d(x^2+1)
= ln x - 1/2 ln(x^2+1) + C
6、∫ sin x / [(3+cos x)^2] dx
解：∫ sin x / [(3+cos x)^2] dx
= - ∫1 / [(3+cos x)^2] d(3+cos x)
= 1 / (3+cosx) + C
7、∫ dx/(3+cos x）
解: 令t=tanx/2 x=2arctant dx=2/（1+t^2）dt
∫ dx / (3+cos x） （注：cosx=[1- tan(x/2)^2]/[1+ tan(x/2)^2] )
= ∫ 1 / [3 + (1-t^2)/(1+t^2)] [2/(1+t^2)] dx
= ∫ dt / (2+t^2)
= (1/√2) ∫ d(t/√2) / [1+(t/√2)^2]
= (1/√2) arctan(t/√2) + C
将t=tanx/2代入其中，得：∫ dx / (3+cos x）= (1/√2) arctan[tan(x/2) / √2)] + C