过点（1，1/3）作圆x^2+y^2=1的切线，切点分别为A.B，直线AB恰好经过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的右焦

Question

过点（1，1/3）作圆x^2+y^2=1的切线，切点分别为A.B，直线AB恰好经过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0)的右焦点和上顶点，求椭圆的方程。（要详细过程）

Answer 1

分析：首先，大概看一下，就会发现两条切线有一条是竖直的，所以，有两个解决方法，1.把斜率的倒数设成k，这样会算出一个零解，2.分类讨论，讨论斜率不存在的情况。本篇用第1种方法计算。
解：设切线方程为x-1=k(y-1/3)
所以圆心到直线距离为1，因为圆心为原点，所以d=|(1/3)k-1|/√(k^2+1)=1 点到直线距离公式
所以[(1/3)k-1]^2=k^2+1，解得k=0或-3/4
k=0时，方程为x-1=0，所以切点为B(1,0)，k=-3/4时，方程为4x+3y-5=0，垂直于此切线的半径方程为3x-4y=0 （斜率为负倒数，且要过圆心，可直接写出）
联立解得A(4/5,3/5)
AB方程为：3x+y-3=0
所以，其与x轴，y轴分别交于(0,3)，(1,0)
所以c=1，b=3，b^2=9，a^2=10
即椭圆方程为x^2/10+y^2/9=1

Answer 2

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