求和:Sn=1平方-2平方+3平方-4平方+...+(-1)n-1次方·n平方

Question

Sn=1²-2²+3²-4²+.....+(-1) n-1次方 乘以n²

Answer 1

Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+5^2-6^2+...+(-1)^(n-1)*n^2
n为奇数时
Sn=1^2 +(-2^2+3^2)+(-4^2+5^2)+...+(-(n-1)^2+n^2)
=1+2+3+4+5+..+(n-1)+n
=(1+n)n/2=(n^2+n)/2
n为偶数时
Sn=1^2+(-2^2+3^2)+..+(-(n-2)^2+(n-1)^2)-n^2
=1+2+3+...+n-2+n-1 -n^2
=(1+n-1)(n-1)/2-n^2
=n(n-1)/2-n^2
= -(n^2+n)/2
所以
Sn=(-1)^(n+1) * (n^2+n)/2

Answer 2

解：
n为偶数时：
Sn=1²-2²+3²-4²+...+(n-1)²-n²
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+(n-1+n)(n-1-n)
=-(1+2+...+n)
=-n(n+1)/2
n为奇数时：
Sn=1²-2²+3²-4²+...+(n-2)²-(n-1)²+n²
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+[(n-2)+(n-1)][(n-2)-(n-1)]+n²
=-[1+2+...+(n-1)]+n²
=-n(n-2)/2+n²
=n(n+2)/2

Answer 3

Sn=(1-2)*(1+2)+(3-4)*(3+4)+……+(n-1-n)(n-1+n)
=-3-7-11-……-(2n-1)
=-n(n+1)/2 （n为偶数时）

Sn=-3-7-11-……-(n-2+n-1)+n^2
=-n(n-1)/2+n^2
=n(n+1)/2 (n为奇数时)

Answer 4

n(n+2)/2