在矩阵中P(A,E)=(E,X)为什么能推到(A,E)~(E,X)？

也就是说为什么矩阵(A,E)乘上一个矩阵P得到(E,X)，就可以说明矩阵(A,E)可以通过初等行列变换得到矩阵(E,X)？

第1个回答 2011-11-20

这里P必须是一个可逆矩阵。因为一个可逆矩阵可以写成一系列初等矩阵的乘积，所以用一个可逆矩阵左乘一个矩阵A，实际上就是对A作了一系列的初等行变换。

注意用一个初等矩阵P左乘一个矩阵A，就相当于对矩阵A作一了次初等行变换.
当然用一个初等矩阵P右乘一个矩阵A，就相当于对矩阵A作一了次初等列变换.

另外，若A是一个可逆矩阵，E是一个单位矩阵。那么若对A实施什么样的初等行变换，
就对E实施什么样的初等行变换，当A化为单位矩阵时，单位矩阵E就化为了矩阵A的逆
矩阵. 这个命题的证明较为繁琐，一般的线性代数教材中都有证明，你可以去看看.追问

为什么用一个初等矩阵P左乘一个矩阵A，就相当于对矩阵A作一了次初等行变换，而用一个初等矩阵P右乘一个矩阵A，就相当于对矩阵A作一了次初等列变换？？？帮忙解一下吧，我们用的是同济五版线性代数。。。

追答

从下面的图片中可以看到效果.
P是单位矩阵交换一二两行得到的,当然也可以看成是单位矩阵交换第一二列得到的.
PA运算的结果就是交换了A的第一二行, AP运算的结果就是交换了A的第一二列:
(你也可以举一些例子自己试试.)

追问

谢谢~~~

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