牛顿迭代法的收敛条件是什么

Question

如题所述

Answer 1

牛顿迭代法的收敛条件如下：

全局收敛性：这涉及到初值在定义域内任取时算法是否收敛，以及收敛的速度和收敛到的根。但全局收敛性的具体条件较为复杂，且不是牛顿迭代法主要关注的点，因为它更多依赖于问题的具体性质和初值的选取。

局部收敛性：

单重零点：若函数f=0有根a，且f在a点充分光滑，同时f’ ≠ 0，则当初值取在a的某个邻域内时，使用牛顿迭代法得到的序列x[n]将收敛到a，且收敛速度至少是二阶的。多重零点：若f’ = 0，则收敛速度将降低为一阶。此时，虽然牛顿迭代法仍然收敛，但收敛速度较慢。

重点内容：牛顿迭代法的局部收敛性主要取决于函数在根点处的导数值。若导数值不为零，则收敛速度快且稳定；若导数值为零，则收敛速度较慢。在实际应用中，需要谨慎选择初值以确保算法收敛到期望的根。