1/(1+ x^4)在[-∞,∞]上的积分是多少

Question

如题所述

Answer 1

我们可以按照以下步骤求解：
首先，根据定积分的计算法则，∫−∞∞1+x41dx 可以分解为两个定积分的和，即：
∫−∞∞1+x41dx=∫−∞01+x41dx+∫0∞1+x41dx
然后，对于第一个积分 ∫−∞01+x41dx ，我们可以令 x=−t ，则 dx=−dt ，于是：
∫−∞01+x41dx=−∫0∞1+t41dt
因此，两个积分的和可以化简为：
∫−∞∞1+x41dx=∫0∞1+x41dx+∫0∞1+x41dx
对于第一个积分 ∫0∞1+x41dx ，我们可以令 x=t1 ，则 dx=−2t3/21dt ，于是：
∫0∞1+x41dx=−∫0∞(1+t)2t3dt
类似地，对于第二个积分 ∫0∞1+x41dx ，我们可以令 x=t ，则 dx=2t1dt ，于是：
∫0∞1+x41dx=∫0∞(1+t)2tdt
最后，将两个积分的和代入得到：
∫−∞∞1+x41dx=−∫0∞(1+t)2t3dt+∫0∞(1+t)2tdt
根据定积分的计算法则，可以分别求得两个积分的值，然后将它们相加即可得到最终结果。