平面法向量的快速求法叉乘如下：
1、反交换律：a乘b，等于b乘a；
2、加法的分配律：a乘括号b加c，等于a乘b加a乘c；
3、与标量乘法兼容：ra乘b，等于a乘rb，等于r乘括号a加b；
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a乘括号b加c，加b乘括号a加c，加c乘括号b加a，等于0；
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 R3 构成了一个代数；
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a乘b等于0。
空间向量线面垂直是指在三维空间中，如果一个向量与一个平面上的任意一个向量垂直，则该向量与该平面垂直。具体表述为：设平面的法向量为n，向量a与平面上任一向量b垂直，则向量a与平面垂直。
判定方法有内积法，首先计算向量n和向量a的内积，若内积结果为零，则说明向量a与向量n垂直，即向量a与平面垂直。向量法，将向量n和平面上的向量b分别表示为坐标形式，然后计算它们的向量积，若向量积为零，则说明向量n与向量b共线，即向量a与平面垂直。
需要注意的是，这个定理适用于三维空间中的情况，而不适用于二维平面。另外，在使用定理时，要注意向量和平面之间的关系以及向量和平面的表示方式。
在直线与平面内的两相交直线垂直的条件
在直线与平面内的两相交直线垂直的条件是它们的方向向量互相垂直。设直线L1与平面Π相交于点P，直线L2与平面Π相交于点Q，我们需要证明L1的方向向量与L2的方向向量垂直。
首先，设直线L1上一点为A，直线L2上一点为B。由于L1在平面Π内，因此L1的方向向量与平面的法向量垂直。假设平面Π的法向量为n，则有 n·(AP) = 0，其中·表示向量的点积。
同样地，由于L2在平面Π内，L2的方向向量与平面Π的法向量也垂直。假设平面Π的法向量n，则有 n·(BQ) = 0。
考虑直线L1上任意一点A与直线L2上任意一点B构成的向量AB，我们需要证明向量AB与L1的方向向量、L2的方向向量均垂直。向量AB可以表示为 AB = AP + PQ + QB。将上述向量代入，得到 AB = AP + PQ + QB = AP + (BQ - BP) + QB = AP + BQ。
现在来计算向量AB与L1的方向向量以及L2的方向向量的点积。AB·(L1的方向向量(AP+BQ)·(L1的方向向量) = AP·(L1的方向向量) + BQ·(L1的方向向量)。由于L1的方向向量与平面Π的法向量 垂直，所以AP·(L1的方向向量) = 0。
同理，BQ·(L1的方向向量) = 0。因此，AB·(L1的方向向量) = 0。同样地，我们可以证明AB·(L2的方向向量) = 0。
综上所述，当直线L1与平面Π相交于点P，直线L2与平面Π相交于点Q时，L1的方向向量与L2的方向向量互相垂直，即直线L1与平面内的两相交直线垂直。