如何求该数列的通项公式（关于n的函数）

Question

如何求该数列的通项公式（关于n的函数）已知一数列
a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，a5=6。
a(n)=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)，n≥5。
括号内容为下标。

Answer 1

数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：

1、类型1  

解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例:已知数列满足，，求。

解：由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即



所以，，

2、类型2   

解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列满足，，求。

解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

例:已知， ，求。

解：

。

3、类型3  （其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列中，，，求.

解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.

变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异．

4、类型4  （其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。

例:已知数列中，,，求。

解：在两边乘以得：

令，则,解之得：所以

5、类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足

例:已知数列中，, ,，求。

解：由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。

6、类型6

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

解：取倒数： 是等差数列， 追问

格式都弄没了

Answer 2

在三阶递推中an+3=Pan+2+Qan+1+Ran
首先你要明白特征根是怎么来的
设a(n+3)+xa(n+2)+ya(n+1)=z(a(n+2)+xa(n+1)+ya(n))
由系数对应相等可得
z-x=P x=z-P
zx-y=Q
zy=R y=R/z
所以z(z-P)-R/z=Q 即z^3-pz^2-Qz-R=0
可见z是特征方程的根,一般取比较好算的整数,这样x y也就能顺利得到
你就可以求得数列{a(n+2)+xa(n+1)+ya(n)}的通项公式,一般是等比数列,z为公比
然后两边同时除以z^(n+2),化为a(n+2)/z^(n+2)+x/z*a(n+1)/z^(n+1)+y/z^2*a(n)/z^n=k的形式
设b(n)=a(n)/z^n 就有b(n+2)+x/z*b(n+1)+y/z^2*b(n)=k
以下仍然可以用待定系数法求通项,等比值仍可以通过特征方程求得
如上题中
an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)→a(n+3)=a(n+2)+a(n+1)+an，然后套用上面的结论本回答被提问者采纳

Answer 3

能不能把问题发图片追问

追答

你这个题目不完整啊，我看你之前发的那个，把n看成一个函数？那就是说把a(n)看成一个函数f(n)，那如果这样的话f(n)就是一个分段函数，分别是，当n＝1，1＜n≤4，n≥5时这三个函数嘛，但是你题目里面没有说这是一个什么数列，所以你这个题目给我的不是很清楚

Answer 4

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