函数有界、无界的定义到底是什么，怎么判断函数有、无界？

Question

我先问几个问题
1、f(x)∈(a,b)，f(x)有界吗？g(x)∈[a,b],g(x)的上界是b，下界是a，这应该没错吧。
2、有极限的函数不一定有界？举个例子
3、f(x)无界就是代表当x∈(a,b)时，f(x)→∞吗？还是代表其他的？

Answer 1

从你的叙述来看你确实完全不知道定义，而且对于很多概念可能都比较模糊，叙述也很不清晰，有必要引起重视。

定义：
假定f是D->R的函数，如果存在实数M使得f(x)<=M对一切x∈D成立，那么称f有上界，M是f的一个上界。
类似地，如果存在实数m使得f(x)>=m对一切x∈D成立，那么称f有下界，m是f的一个下界。
如果f既有上界又有下界，那么称f有界，否则称f无界。

你先要设法理解定义，搞懂了什么问题都有希望解决，搞不懂的话记一堆结论也没用。

回到你的问题，有必要帮你修正一下叙述方式
1.如果f的值域包含于有限区间(a,b)，那么f有界，b是f的一个上界（不要反过来说上界是b，因为上界一旦存在就有无穷多个）。

2.如果x->A时lim f(x)存在，那么f在A的局部有界，也就是说存在A的邻域(A-t,A+t)以及实数M使得|f(x)|<=M对一切x∈(A-t,A+t)成立。
不要很随意地说有极限就有界，这样的表述本就太过含糊，比如(0,1)上的函数f(x)=1/x，x->1/2时是否有极限和x->0的行为没有任何关系。

3.无界和极限无穷大是两码事。无界就是不满足有界的条件，没别的意思。
如果x->A时lim f(x)=oo，那么f在A的附近是无界的。
但是无界的函数未必需要有无穷极限，比如
f(x) = 0，x是无理数
f(x) = q，x=p/q是有理数，且p/q既约，q>0
这个函数无界但是处处没有无穷极限。追问

1、假如一个函数，当x趋近于无穷大时，y无限趋近于1，当x趋近于无穷小时，y无限趋近于-1，就是一个S的函数图形，经过零点，这个函数算有界吗？
按照你说的，应该算有吧？1,2,3……都是它的一个上界，-1，-2，-3……都是一个下界。
3、f(x)无界如果并不是代表f(x)→∞，那么值域还有什么情况？
你举的例子中，f(x)=0或者=q，这两个都是固定的实数，那么只要有一个数分别大于或者小于这两个数不久成为了这个函数的上下界？

追答

1.如果f(x)在(-oo,+oo)上连续，且lim{x->+oo}f(x)和lim{x->-oo}f(x)都有限，那么f(x)在(-oo,+oo)上有界。
3.f(1/2)=2,f(1/3)=3,...,f(1/n)=n,...，怎么可能有界

很明显你仍然没有理解定义，也不会在不理解的情况下做形式推导。
如果实在不理解就多看几遍多想几遍，慢慢地总能理解的。

Answer 2

据我所知,f(x)无界就是代表当x∈(a,b)时,无最大值，无最小值便是无界，无界并不是指值域无界，

Answer 3

解析：
(1)
指数函数不是有界函数
(2)
直接按照定义去判断某个函数是否有界
(3)
函数的有界无界，是针对“整个定义域”而言的