定积分怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

定积分的计算方法如下。

解：令f(x)的一个原函数为F(x)，即∫f(x)dx=F(x)+C。

那么若要求f(x)在区间[a,b]上的定积分，则可利用∫f(x)dx=F(x)+C来进行计算。

即∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)。

例：求∫(1,4)√x*(1+√x)dx

令F(x)=∫√x*(1+√x)dx

=1/2*x^2+2/3*x^(3/2)+C，

那么∫(1,4)√x*(1+√x)dx=F(4)-F(1)

=(8+16/3)-(1/2+2/3)

=71/6

扩展资料：

1、定积分的性质

若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)

（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0

（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)

（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)），（其中k为不为零的常数）

2、不定积分的运算法则

（1）函数的和（差）的不定积分等于各个函数的不定积分的和（差）。即：

∫[a(x)±b(x)]dx=∫a(x)dx±∫b(x)dx

（2）求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：

∫k*a(x)dx=k*∫a(x)dx

3、不定积分公式：∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C

参考资料来源：百度百科-定积分

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Answer 3

计算定积分常用的方法：

换元法

（1）  

向左转|向右转



（2）x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导

（3）当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b

则 

向左转|向右转



2.分部积分法

设u=u(x),v=v（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式：

向左转|向右转



拓展资料：

定积分的数学定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点xi将区间[a,b]分为n 个小区间，在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ri（i=1,2,3„,n） ，作和式f(r1)+...+f(rn) ，当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x) 在区间上的定积计做/ab f(x) dx 即 /ab f(x) dx ＝limn>00 [f(r1)+...+f(rn)]， 这里，a 与 b叫做积分下限与积分上限，区间[a,b] 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。

几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值。（一种确定的实数值）

Answer 4

【1，e】∫lnxdx
解：用分部积分法：原式=【1，e】[xlnx-∫xd(lnx)]=【1，e】[xlnx-∫x(1/x)dx]=【1，e】[xlnx-∫dx]
=(xlnx-x)【1，e】=(elne-e)-(1ln1-1)=0-(-1)=1
【在定积分里，代入上下限以后，积分常数被减掉了！故一般都不写啦！不是C=0】
【∫dx=x+C；[a，b]∫dx=(x+C][a，b]=(b+C)-(a+C)=b-a，常数C不就没有了吗？既然总是
被减掉了，故在计算定积分时就不写出来了！[a，b]∫dx=x[a，b]=b-a.】
【0，2】∫e^（x/2）dx=【0，2】2∫d[e^(x/2)]=2e^(x/2)∣【0，2】=2(e-1)
你好像根本就没有学过微积分！d是微分符号，d[e^(x/2)]=[e^(x/2)]'dx=[e^(x/2)](x/2)'dx
=(1/2)e^(x/2)dx；你再问下去解决不了任何问题，还是老老实实的从微积分基本概念学起吧！
好不好？
前面说了，d[e^(x/2)]=(1/2)e^(x/2)dx，与原来的积分【0，2】∫e^(x/2)dx比较，
【0，2】∫d[e^(x/2)]=【0，2】∫(1/2)e^(x/2)dx，这不多出来一个(1/2)的系数吗？为了保持
相等，就要乘以2，即【0，2】∫e^(x/2)dx=【0，2】2∫d[e^(x/2)]=[2e^(x/2)]【0，2】=2(e-1)；

∫du=u+C，∫d(e^x)=e^x+C；∫d(sinx)=sinx+C；∫d[ln(x²+1)]=ln(x²+1)+C.懂了吗？
没有书，就到书店去买一本“高等数学”，十来块钱的事。

Answer 5

可以
∫(1→e)lnxdx
=xlnx|(1→e)-∫(1→e)x*1/xdx （分部积分）
=xlnx|(1→e)-∫(1→e)dx
=xlnx|(1→e)-x|(1→e)
=(elne-1*ln1)-(e-1)
=(e-0)-(e-1)
=1
算定积分有个公式，就是若∫f(x)dx=F(x)，那么∫(a→b)f(x)dx=F(b)-F(a)。这里，我就把F(b)-F(a)写成F(x)|(a→b)了。
d(lnx)=1/x*dx就是微分的公式啊。
∫dx=x+C啊，因为(x+C)'=1。。。。麻烦您看清楚，积分的结果是x+C，而x+C求导才是1。。。。
这个就是不定积分，用了凑微分（第一类换元法），然后用那个定理（好像叫微积分基本定理吧）。∫(0→2)e^(x/2)dx=2∫(0→2)e^(x/2)d(x/2)
这里令x/2=u，则原式=2∫(0→2)e^udu=2e^u|(0→2)
再换回去：2e^(x/2)|(0→2)。
今天才开始？虽然我看得出来你很厉害了，小学就学微积分（-_-|||），不过我还是建议您多看看书吧。没有坚实的基础，我再说恐怕也没什么效果。。。你没有书就去买或者借，比如很出名的一本就是同济高数，书店里肯定有的。
嗯。。。我也懂了。。。