对数函数是指数函数的反函数，按照反函数的定义，指数函数的底数，就称为对数函数的指数。当指数函数的底数是1是，指数函数变成常量函数（在零点没有定义），常量函数不是一一的，所以底数以1为底定义出来的对数函数就就是多值函数（在零点不存在），这个和零做分母类似，分子不为零时分式的值为不存在，分子为零时，分式的值为任意数。
事实上，由换底公式，你可以直接把底数为1的对数化为分母为零的分数。
值得注意的是，在复数范围下，真数可以是负数，用指数函数的语言就是一个数非1的正数（比如2）的Z次方可以为负数，其中Z是复数。
根据换底公式，和上一段的说明，底数是负数是允许的，但是这是在复数范围内考虑的，而且在复数范围内，没有直接定义过底数为负数的对数，可以根据需要，按照换底公式进行延拓而定义。但是这样定义出来的对数没有实际的应用价值，处理对数问题通常都会把底数化为自然对数底数e。
最后说一下零做底数的对数，按照反函数定义，原函数是0为底数的的指数函数，当x不为零时，也是常量函数，同样无法定义反函数。
综上所述，对数函数的底数可以扩充到负数（实际上没有用处），但是在-1,0,1这三点是无法定义的，在极限意义下，可以认为他们的值都是无穷大
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