椭圆和双曲线的一般方程

Question

不确定焦点位置，为避免分类讨论

Answer 1

当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0 ，m≠n).由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

当双曲线的焦点位置不确定时，将双曲线方程设为mx^2+ny^2=1(mn<0)，运算比较简洁.

已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过点P1(根号6,1)，P2（-根号3，-根号2）,求椭圆方程
【解】因为不知道焦点所在轴，所以设椭圆方程x^2/m+y^2/n=1(m＞0，n＞0 ，m≠n)
两点代入：
6/m+1/n=1
3/m+2/n=1
解得：n=3,m=9
所以方程为：x^2/9+y^2/3=1

某圆锥曲线C,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点A(-2,2根号3),B(3/2,-根号5) ，则曲线C是什么曲线？
【解】设圆锥曲线C的方程是Mx^2+Ny^2=P，
把点A、B的坐标分别代人方程，得到关于M、N的方程组
2M+12N=P,(9/4)M+5N=P
解方程组得到M=P,N=-P/4
所以圆锥曲线的方程是Px^2+(-P/4)y^2=P
在P=0时，方程无意义，所以P≠0,
因此圆锥曲线的方程是x^2-y^2/4=1.这是一条双曲线。