设以(x,y)为右上顶点的无限矩形区域为G,(其边平行于坐标轴)
则总有:F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y).
根据本题,为方便,将x-y平面分成5个部分: D: 0＜x≤y≤1
D1:第2,3,4象限, D2 :x>y, 0<y<1, D3 y>1, 0<x<1. D4: x>1,y>1
由于:f(x,y)仅仅在D上有非零值,
故当G∩D为空时: F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y)=0
当G∩D=D时, F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y)=在D上二重积分f(x,y)=1
当:G∩D=A不空时,设A的面积为S,由于是均匀分布,
有: F(x,y) = 在G上二重积分f(x,y) = 在A上二重积分f(x,y)=2*S.
由此,得:
当(x,y) 在D上时,G∩D=A为一直角梯形,其面积为S = 0.5*[(y-x) +y]*x
故F(x,y) =2*S =2xy - x^2;
,当(x,y) 在D2上时,G∩D=A为一直角三角形,其面积为S = 0.5*y^2
故F(x,y) =2*S =y^2;
当(x,y) 在D3上时,G∩D=A为一直角梯形,其面积为S = 0.5*[(1-x) +1]*x
故F(x,y) =2*S =2x - x^2;
当(x,y) 在D1上时,G∩D=为空,
故F(x,y) =0,
当(x,y) 在D4上时,G∩D=D
故F(x,y) =1;
综合,得:(x,y) 在:
D F(x,y) =2xy - x^2;
D2上 ,F(x,y) =y^2;
D3上 F(x,y) =2x - x^2;
D1上 F(x,y) =0,
D4 上 F(x,y)= 1
(另有附图)
F(x,y)=
0 , 其他