利用矩阵的对角化,求下列矩阵的n次幂

Question

A=1 4 2
0 -3 4
0 4 3 请写一下过程，在此拜谢

Answer 1

先对角化：求出特征跟1,5，-5，再求出特征向量，拼成矩阵P，把对角型n次幂，用P和P的逆，算出结果。

^|λE-A|=...=(λ-1)(λ-5)(λ+5)

解得λ1=1，λ2=5，λ3=-5

分别代入(λE-A)X=0中，得到三个解

η1=(1,0,0)'

η2=(2,1,2)'

η3=(1,-2,1)'

若P=(η1,η2,η3)

则P^(-1)AP=diag(1,5,-5)

故daoA=Pdiag(1,5,-5)P^(-1)=>A^n=Pdiag(1,5^n,(-5)^n)P^(-1)

现求P^(-1)：

对[P E]施行初等行变换将其化为[E P^(-1)]：

1 2 1 1 0 0

0 1 -2 0 1 0

0 2 1 0 0 1

->

1 0 5 1 -2 0

0 1 -2 0 1 0

0 0 5 0 -2 1

->

1 0 0 1 0 -1

0 1 0 0 1/5 2/5

0 0 1 0 -2/5 1/5

则P^(-1)=

1 0 -1

0 1/5 2/5

0 -2/5 1/5

A^n=Pdiag(1,5^n,(-5)^n)P^(-1)

=...=

[5 2*5^n-2*(-5)^n -5+4*5^n+(-5)^n;

0 5^n+4*(-5)^n 2*5^n-2*(-5)^n ;

0 2*5^n-2*(-5)^n 4*5^n+(-5)^n]*(1/5)

扩展资料：

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：

（1） 求出全部的特征值；

（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；

（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

解: |A-λE| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 A的特征值为 1,5,-5

A-E 用初等行变换化为
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)^T.
所以 A 的属于特征值1的全部特征向量为 k1(1,0,0)^T, k1为任意非零常数.

A-5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 -1/2
0 0 0
(A-5E)x=0 的基础解系为 a2=(1,1/2,1)^T.
所以 A 的属于特征值5的全部特征向量为 k2(1,1/2,1)^T, k2为任意非零常数.

A+5E 用初等行变换化为
1 0 -1
0 1 2
0 0 0
(A+5E)x=0 的基础解系为 a3=(1,-2,1)^T.
所以 A 的属于特征值-5的全部特征向量为 k3(1,-2,1)^T, k3为任意非零常数.

令P=(a1,a2,a3)=
1 1 1
0 1/2 -2
0 1 1
则P可逆,且 P^-1AP=diag(1,5,-5)
所以 A=Pdiag(1,5,-5)P^-1.
故有 A^k = Pdiag(1,5,-5)^kP^-1 = Pdiag(1,5^k,(-5)^k)P^-1 = (1/5)*
5 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k-5
0 4*(-5)^k + 5^k 2*5^k-2*(-5)^k
0 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k

Answer 3

如图示

追问

并不全啊亲~

追答

恩 更改过了 估计需要几分钟时间

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