多元函数的介值定理

Question

设函数f(x,y)在区域D内连续，又点（xi,yi）属于D（i=1,2,......n）。证明，在D内存在一点(a,b)使得f(a,b)=(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n
需要详细步骤，我这一部分不是很懂，分不多，还是谢谢各位了

Answer 1

你的题目少写了一个字，“闭区域D”
介值定理：设f(x)在闭区域D上最大值为M，最小值为m，则对于任意c满足m≤c≤M，均存在(a,b)∈D，使得，f(a,b)=c

看完这个定理你应该想到思路了吧，本题其实就是要证(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n是一个介于m和M之间的数就可以了。
将所有的f(xi,yi)换成m，显然有(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n≥(nm)/n=m
将所有的f(xi,yi)换成M，显然有(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n≤(nM)/n=M
这样说明：(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n是介于m和M之间，由介值定理，
在D内存在一点(a,b)使得f(a,b)=(f(x1,y1)+f(x2,y2)+......+f(xn,yn))/n