高数，不定积分的一道题，怎么到下一步分母上少了个x呢?还有最后一步是怎么出结果的呢(就是求1/co

Question

高数，不定积分的一道题，怎么到下一步分母上少了个x呢?还有最后一步是怎么出结果的呢(就是求1/cosx的原函数，且带入x)?谢谢各位大神~

Answer 1

【俊狼猎英】团队为您解答~
书质量有点差
应该是∫dx/x√(1+x^2)
=∫csctdt
=ln|csct-cott|+C
=ln(√(1+1/x^2)-1/x)+C
=1/x*ln(√(1+x^2)-x)+C
最后一步利用∫csctdx=ln|csct+cott|+C
属于三角函数常用积分公式，书上应该有类似的求解过程的
把t换回x即可追问

这是我们高数课本。。。＠_＠。。。不过下一步怎么算呢?麻烦你了

追答

已经求出来了，哪里还有问题

追问

就是最后一行求的过程，谢谢了

追答

随便搜索一下很多的
∫cscx dx
=∫1/sinx dx
=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx,两倍角公式
=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)
=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)
=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)],注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C
=ln|tan(x/2)|+C,这是答案一
进一步化简:
=ln|sin(x/2)/cos(x/2)|+C
=ln|2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]|+C,凑出两倍角公式
=ln|sinx/(1+cosx)|+C
=ln|sinx(1-cosx)/sin²x|+C
=ln|(1-cosx)/sinx|+C
=ln|cscx-cotx|+C,这是答案二

追问

追答

答案是错的
得到应该是∫dt/sint=∫csctdt

追问

好的，谢谢