猜数字
大家看到的六张填满数字的表。 你可以任选其中一个数，只要说 出这个数在哪几张表中出现，玩 游戏的人就能立刻猜出它是几。
“1 + 1 = 10”
—浅谈二进制的妙用
例如你选的是20，那么你只要说出 它在第三张和第五张表里，玩游戏的 人就能立刻猜到它是 20。
为什么呢？
我们可以看到，只同时出现在第三 张和第五张表里的数只有20，所以只 要记住20在哪几张表中出现，就可以 猜出答案了。
下面我们用数学方法更一般地分析其中 的道理。 问： 为什么一共要有6张表？ 为什么每张表都有32个不同的数？ 为什么每张表中最大的数都是63？
6、32、63这三个数有没有内在联系呢？
首先，在规定用六张表的前提下，我 们考虑可以安排多少个数使它们分别只 出现在其中的一张、两张、‥‥‥、六 张？ 为了叙述方便，我们引进以下符号。
记集合 记
k
A
k
={只在k张表里出现的数}，
k
A 中元素个数为 A
，
（k=1，2，3，4，5，6）
易知，只出现在k张表里的数的个数
= 从六张表中取k张的不同取法的个数 所以，Ak
6 k ?1 k
=
1
C
2
k 6
3 4 5 6
? A C 6 ? C 6 ? C 6?C 6?C 6 ? C 6 ? 2 ^ 6 ? 1 ? 63
＝
即这样就得到：若只用 6 张表格，则可安 排63个不同的数字。这就是6和63的关系。
另外每张表格需要有多少个格子？也 即需要填多少个不同的数字？ 我们可以把每张表格上的数分为六类 (因为只有6张表格) ：
共在一张表中出现；
共在两张表中出现；
‥‥‥
共在六张表中出现。
记集合 B j ={在第j张表中出现，且共在k 张表中出现的数} ，
(j=1，2，3，4，5，6；k=1，2，3，4，5，6)
k
记 B j 的个数为 B j ，则 对任何 j ，
k
k
B =从其他5张中取k-1张的不同取法个数=C 5
j
k
k ?1
故每张表中这6类数的总个数是：
?B
k ?1
6
k j
= C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? 32
0 1 2 3 4 5
由上述分析知：
若只用6张表格，则可安排63个 不同数，也即最大的数是63，而每 张表格要填32个不同数字。
现在还有一个问题需要研究：
这6张表格如何去填才能最快地猜 出正确的答案？
显然，填写表格的方式是多种多样的。 例如，可按63个数字的分类方式来填写：
①只在一张表格上出现的： （一）→1， （二）→2， ······，（六）→6； ②只在两张表格上出现的： （一二）→7， （一三）→8 ， （一四）→9， （一五）→10，（一六）→11，（二三）→12，
（二四）→13，（二五）→14，（二六）→15，
（三四）→16，（三五）→17，（三六）→18，
（四五）→19，（四六）→20，（五六）→21，
③只在三张表格上出现的：
（一二三）→22，（一二四）→23，（
一二五）→24， （一二六）→25，（一三四）→26，（一三五）→27， （一三六）→28，（一四五）→29，（一四六）→30， （一五六）→31，（二三四）→32，（二三五）→33， （二三六）→34，（二四五）→35，（二四六）→36， （二五六）→37，（三四五）→38，（三四六）→39， （三五六）→40，（四五六）→41，
④只在四张表格中出现的：
（一二三四）→42，（一二三五）→43， （一二三六）→44，（一二四五）→45， （一二四六）→46，（一二五六）→47，
（一三四五）→48，（一三四六）→49， （一三五六）→50，（一四五六）→51， （二三四五）→52，（二三四六）→53， （二三五六）→54，（二四五六）→55， （三四五六） →56，
⑤只在五张表格中出现的：
（一二三四五）→57，（一二三四六）→58， （一二三五六）→59，（一二四五六）→60， （一三四五六）→61，（二三四五六）→62，
⑥六张都出现的： （一二三四五六）→63，
但这样的方法不容易记忆。
为了便于记忆和提高速度，我们要借 助于二进制数的方法。 任何一个数X(1≤X≤63)在6张表上出现 a 的状况都一一对应于一个二进制的6位 数：
i
a a a a a a ，其中a 只取0或1
6 5 4 3 2 1
i
a =0表示在第i张上不出现， a =1表示在第i张上出现；(1≤i≤6)
i i
例1：某数只在第四张和第五张表上出现，则有
(四，五) ←→(011000) 2
(011000) = (24)
2
，那么该数就是24。
10
例2：某数只在第三、四、五、六张上出现
则有
（三、四、五、六） ←→
=
?60?
?111100?
2
10
，那么该数是60。
1 17 33 49
3 19 35 51
5 21 37 53
7 23 39 55
9 25 41 57
11 27 43 59
13 29 45 61
15 31 47 63
2 18 34 50
3 19 35 51
6 22 38 54
7 23 39 55
10 26 42 58
11 27 43 59
14 30 46 62
15 31 47 63
(一)
(二)
4 20 36 52
5 21 37 53
6 22 38 54
7 23 39 55
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
8 24 40 56
9 25 41 57
10 26 42 58
11 27 43 59
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
(三)
(四)
16 24 48 56
17 25 49 57
18 26 50 58
19 27 51 59
20 28 52 60
21 29 53 61
22 30 54 62
23 31 55 63
32 40 48 56
33 41 49 57
34 42 50 58
35 43 51 59
36 44 52 60
37 45 53 61
38 46 54 62
39 47 55 63
(五)
(六)
由此可知，只要说出你所取的数在 6 张表上的分布情况，按上述方法就 可以立刻得到正确答案。 现在，大家自然就知道填表方法了。 这就是巧猜数字的全部秘密。
说明： 这是一个古典的数学游戏。 在这个游戏中二进制体现了“优化” 这一极其重要的数学思想。 如果大家把表格中的数字看作人 的年龄的话，就可以玩巧猜年龄的 游戏。一般而言，当选用七张表格 时，就可以猜出任何人的年龄了
大家看到的六张填满数字的表。 你可以任选其中一个数，只要说 出这个数在哪几张表中出现，玩 游戏的人就能立刻猜出它是几。
“1 + 1 = 10”
—浅谈二进制的妙用
例如你选的是20，那么你只要说出 它在第三张和第五张表里，玩游戏的 人就能立刻猜到它是 20。
为什么呢？
我们可以看到，只同时出现在第三 张和第五张表里的数只有20，所以只 要记住20在哪几张表中出现，就可以 猜出答案了。
下面我们用数学方法更一般地分析其中 的道理。 问： 为什么一共要有6张表？ 为什么每张表都有32个不同的数？ 为什么每张表中最大的数都是63？
6、32、63这三个数有没有内在联系呢？
首先，在规定用六张表的前提下，我 们考虑可以安排多少个数使它们分别只 出现在其中的一张、两张、‥‥‥、六 张？ 为了叙述方便，我们引进以下符号。
记集合 记
k
A
k
={只在k张表里出现的数}，
k
A 中元素个数为 A
，
（k=1，2，3，4，5，6）
易知，只出现在k张表里的数的个数
= 从六张表中取k张的不同取法的个数 所以，Ak
6 k ?1 k
=
1
C
2
k 6
3 4 5 6
? A C 6 ? C 6 ? C 6?C 6?C 6 ? C 6 ? 2 ^ 6 ? 1 ? 63
＝
即这样就得到：若只用 6 张表格，则可安 排63个不同的数字。这就是6和63的关系。
另外每张表格需要有多少个格子？也 即需要填多少个不同的数字？ 我们可以把每张表格上的数分为六类 (因为只有6张表格) ：
共在一张表中出现；
共在两张表中出现；
‥‥‥
共在六张表中出现。
记集合 B j ={在第j张表中出现，且共在k 张表中出现的数} ，
(j=1，2，3，4，5，6；k=1，2，3，4，5，6)
k
记 B j 的个数为 B j ，则 对任何 j ，
k
k
B =从其他5张中取k-1张的不同取法个数=C 5
j
k
k ?1
故每张表中这6类数的总个数是：
?B
k ?1
6
k j
= C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? C 5 ? 32
0 1 2 3 4 5
由上述分析知：
若只用6张表格，则可安排63个 不同数，也即最大的数是63，而每 张表格要填32个不同数字。
现在还有一个问题需要研究：
这6张表格如何去填才能最快地猜 出正确的答案？
显然，填写表格的方式是多种多样的。 例如，可按63个数字的分类方式来填写：
①只在一张表格上出现的： （一）→1， （二）→2， ······，（六）→6； ②只在两张表格上出现的： （一二）→7， （一三）→8 ， （一四）→9， （一五）→10，（一六）→11，（二三）→12，
（二四）→13，（二五）→14，（二六）→15，
（三四）→16，（三五）→17，（三六）→18，
（四五）→19，（四六）→20，（五六）→21，
③只在三张表格上出现的：
（一二三）→22，（一二四）→23，（
一二五）→24， （一二六）→25，（一三四）→26，（一三五）→27， （一三六）→28，（一四五）→29，（一四六）→30， （一五六）→31，（二三四）→32，（二三五）→33， （二三六）→34，（二四五）→35，（二四六）→36， （二五六）→37，（三四五）→38，（三四六）→39， （三五六）→40，（四五六）→41，
④只在四张表格中出现的：
（一二三四）→42，（一二三五）→43， （一二三六）→44，（一二四五）→45， （一二四六）→46，（一二五六）→47，
（一三四五）→48，（一三四六）→49， （一三五六）→50，（一四五六）→51， （二三四五）→52，（二三四六）→53， （二三五六）→54，（二四五六）→55， （三四五六） →56，
⑤只在五张表格中出现的：
（一二三四五）→57，（一二三四六）→58， （一二三五六）→59，（一二四五六）→60， （一三四五六）→61，（二三四五六）→62，
⑥六张都出现的： （一二三四五六）→63，
但这样的方法不容易记忆。
为了便于记忆和提高速度，我们要借 助于二进制数的方法。 任何一个数X(1≤X≤63)在6张表上出现 a 的状况都一一对应于一个二进制的6位 数：
i
a a a a a a ，其中a 只取0或1
6 5 4 3 2 1
i
a =0表示在第i张上不出现， a =1表示在第i张上出现；(1≤i≤6)
i i
例1：某数只在第四张和第五张表上出现，则有
(四，五) ←→(011000) 2
(011000) = (24)
2
，那么该数就是24。
10
例2：某数只在第三、四、五、六张上出现
则有
（三、四、五、六） ←→
=
?60?
?111100?
2
10
，那么该数是60。
1 17 33 49
3 19 35 51
5 21 37 53
7 23 39 55
9 25 41 57
11 27 43 59
13 29 45 61
15 31 47 63
2 18 34 50
3 19 35 51
6 22 38 54
7 23 39 55
10 26 42 58
11 27 43 59
14 30 46 62
15 31 47 63
(一)
(二)
4 20 36 52
5 21 37 53
6 22 38 54
7 23 39 55
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
8 24 40 56
9 25 41 57
10 26 42 58
11 27 43 59
12 28 44 60
13 29 45 61
14 30 46 62
15 31 47 63
(三)
(四)
16 24 48 56
17 25 49 57
18 26 50 58
19 27 51 59
20 28 52 60
21 29 53 61
22 30 54 62
23 31 55 63
32 40 48 56
33 41 49 57
34 42 50 58
35 43 51 59
36 44 52 60
37 45 53 61
38 46 54 62
39 47 55 63
(五)
(六)
由此可知，只要说出你所取的数在 6 张表上的分布情况，按上述方法就 可以立刻得到正确答案。 现在，大家自然就知道填表方法了。 这就是巧猜数字的全部秘密。
说明： 这是一个古典的数学游戏。 在这个游戏中二进制体现了“优化” 这一极其重要的数学思想。 如果大家把表格中的数字看作人 的年龄的话，就可以玩巧猜年龄的 游戏。一般而言，当选用七张表格 时，就可以猜出任何人的年龄了
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