关于高等数学中反函数的理解

Question

请看图片中画线的句子 为什么原函数能和反函数一致 不太理解 等待高手赐教

Answer 1

函数其实是两个数集之间的一种对应关系，而反函数其实就是在原函数的基础上，不改变两个数集间的对应关系，只是改变对应双方的位置：原来是 x1→y1、x2→y2……现在是 y1→x1、y2→x2……
　　前者就是原函数，后者就是反函数——这是函数的一种表述方法：列举法。可见，反函数的 “定义域” 和 “值域” 与原函数进行了调换。

　　可以想到，不是所有函数都有原函数的。函数允许 “多对一” 的关系出现，但不允许 “一对多”。所以，所有具有反函数的函数，都是 “一一对应” 的关系。可以简单地理解为函数的 “定义域” 和 “值域” 中的元素个数相等，恰好能一一配对。

　　假设函数 y = f(x) （该函数的标准记法是：f:X→Y）具有反函数：ψ:Y→X。那么，f 的函数图象 F 和 ψ 的函数图象 W 必然满足以下关系：点(x，y)在F上，当且仅当点(y，x)必然在 W 上。
　　显然，这两个点是关于直线 y = x 对称的。当对于 F 上的所有点，都可以在 W 上找到轴对称点时，F 和 W 本身就是轴对称的了，而事实正是如此。
　　最后——轴对称的两个图象，必然“一致”。追问

那那张图片后面紧接着又说了那种反函数和原函数关于y=x对称 所以我认为这里的“一致”是真正意义上的一致 而不是所谓的对称 您怎么看呢

追答

你说的没错。在数学里，“一致” 并不是一个专有名词，没有严格的数学定义。所以只能按照其本意理解。
　　词语 “一致” 表示趋向相同、没有分歧的意思。这样的定义是比较笼统的，没有数学概念那么严密。使用中，我们要根据具体语境来理解这个词。可以理解为 “大体一致”，也可理解为 “完全相同”；“完全相同” 也分为 “形状完全相同” 和 “形状和位置都完全相同”，前者在数学上叫做 “全等”，后者叫做 “重合”。
　　我觉得，在这里的 “一致” 就是 “全等” 的意思。文中前半句说 “一致”，后半句说 “对称”，其实就是先说 “形状”，再说 “位置关系”。所以，我说 “轴对称的两个图象，必然 ‘一致’ ”，因为 “对称” 的，一定是 “全等” 的。

Answer 2

图形肯定一直，不过位置就不同，要是该函数存在反函数，那根据关于y=x对称就可以画出反函数，并且该反函数的定义域为原函数的值域，值域为原函数的定义域。画出图像之后很好理解。但不是所有函数都有反函数！！！！！！楼上那个y=x的平方没有反函数（不知道他怎么学数学的）。。。。。。还有你说的一致就是反函数与原函数的图形趋向是一样（单调性追问

那那张图片后面紧接着又说了那种反函数和原函数关于y=x对称 所以我认为这里的“一致”是真正意义上的一致 而不是所谓的对称 您怎么看呢

Answer 3

他们的图像关于y＝x对称。是不是指图形一样只是方向位置不同？比如y＝x^2(x≥0)的图像是开口向上的半个抛物线，它的反函数就是开口像右的半个抛物线，而且来喽大小一样