2.3.3.1 煤柱承载能力分析
煤柱稳定性是指在一定的时间内、在一定的载荷作用下，煤柱由于应力重新分布而仅出现变形，但并不产生破坏性的垮落和滑动。
采用留煤柱开采，若采出宽度较小，采空区内除直接顶冒落外，老顶一般不垮落，处于整体状态，具有“托板”功能，托住了上覆岩层。此时煤柱上的载荷可由下式计算[68]
P=（a+b）γH （2.13）
式中：P——煤柱承受的载荷，N/m；
a——条带煤柱宽度，m；
b——条带开采宽度，m；
γ——容重，N/m3；
H——采深，m。
如果采空区跨度较大，采空区上方形成的垮落和断裂高度较大，冒落矸石较多，顶板移近量较大，可导致采空区冒落矸石接顶。此时，要利用King提出的方法计算采空区矸石承载力。King认为：若煤体一侧未采动，而另一侧为无限采动，则在紧靠煤壁处的矸石不承载，而在采空区侧距煤壁0.3 H处，采空区矸石承受γH的载荷，且在该处与煤壁之间的应力按线性分布计算。所以，只要对有限采动情况迸行叠加，就可求得考虑采空区矸石承载情况下条带煤柱的载荷
P＇=（a+b）γH-γb2/1.2 （2.14）
式中：P——煤柱承受的载荷，N/m；
a——条带煤柱宽度，m；
b——条带开采宽度，m；
γ——容重，N/m3；
H——采深，m。
另外，由于采空区冒落矸石较多，再采用托板结构理论，也就是面积法去计算煤柱上的载荷与实际偏差较大，应采用平衡拱结构或拱梁平衡结构，为了计算方便，将采空区冒落拱形简化为等腰三角形，三角形的高为冒落带的高度（图2.5）。
图2.5 条带煤柱载荷估算图
煤柱上所受压力主要由两部分组成：一是条带煤柱承受的上覆岩重；二是开采引起的附加应力。条带煤柱的受力状况主要是看煤柱实际承受上覆岩重的能力和动压时煤柱的破坏影响程度。
在煤柱的两侧均已采空时，其承受的上覆岩重分为：一是煤柱上方垂直岩层的重量；二是采空区上覆悬垂岩层的部分重量（图2.5），两部分上覆岩重可按下式估算，即：
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
式中：P——煤柱承受的载荷，N/m；
γ——煤层上覆岩层的平均容重，N/m3；
H——平均采深，m；
b——条带采宽，m；
a——条带煤柱宽，m；
h——冒落高度，m。
如按威尔逊公式计算煤柱实际承受的载荷为
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
式中：H——平均采深，m；
a——条带煤柱宽度，m；
b——条带开采宽度，m；
γ——煤层上覆岩层的平均容重，N/m3。
煤柱所承受的极限载荷为
Pmax=4·γ·H（a-4.92H×10-3） （2.17）
式中：H——平均采深，m；
a——条带煤柱宽度，m；
b——条带开采宽度，m；
γ——煤层上覆岩层的平均容重，N/m3。
2.3.3.2 煤柱屈服区宽度的影响因素
煤层开采前，煤层的应力分布基本上是均匀的，其大小等于围岩的应力。开采以后，煤层的原始应力遭到破坏，煤柱上方应力重新分布，由均匀分部变成非均匀分布，出现应力集中。开采初始阶段，最初应力分布为图2.6 中曲线1，因在煤柱边角处应力集中程度高，超过了煤柱的抗压强度，所以边沿被压缩并有片帮现象，从而在煤柱边沿的一定范围内应力减小，即最大应力点向煤柱里面移动，最终应力分布如图2.6 中的曲线2。这一变化使煤柱边到最大应力点之间的范围由原来的弹性体转变为塑性体，这个范围就是屈服区。
图2.6 条带开采煤柱应力分布图
煤柱屈服区宽度是煤柱稳定性分析中的一项重要内容，如A.H威尔逊公式、大板裂隙理论公式、极限平衡理论公式等，这些理论都是以“煤柱可分为屈服区和核区两部分，均有各自的合理成分和应用条件，但都存在着一个共同的缺陷，即没有考虑煤体材料及其顶、底板接触面的黏聚力和内摩擦角的影响。”下面应用小变形弹塑性理论中的库仑准则迸行推导。
对煤柱的基本假设：
（1）煤体是连续、均质的各向同性弹性体；
（2）煤柱屈服之前的位移和变形是微小的；
（3）煤柱两边屈服区为临界弹性状态，屈服区煤体可作为线弹性体处理；
（4）屈服区因剪应力而发生破坏，剪切破坏面平行于煤层层面；
（5）煤柱只受覆岩自重应力作用，不受水平构造应力影响；
（6）煤柱受力关于煤柱中性面对称。
在煤柱长轴方向的中间位置，沿宽度方向作一横切单元，该单元的应力应变特征属平面应力问题，建立如图2.7所示的坐标系统：σzl为煤柱极限强度（MPa）；其与煤体单轴强度σc及流变系数η有关：σzl=2.729η（ησc）-0.271；Px为冒落岩石或充填物沿x轴方向对煤壁的约束应力；σx、σz、zx分别为水平应力、法向应力和剪应力。c为煤层与顶底板接触面的黏聚力（MPa）；φ为煤层与顶底板接触面的摩擦角（º）；h 为煤柱高度（m）。
于是当煤体沿煤层与顶底板界面被挤出时，煤层界面应力应满足下列应力极限平衡条件（库仑准则），即
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
式中：zx——剪应力，MPa；
σ2——法向应力，MPa；
c——黏聚力，MPa；
φ——摩擦角，（º）。
图2.7 煤柱应力分布图
在屈服区与核区交接面处，即x=rP处的应力边界条件为：
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
式中：β——屈服区与核区界面处的侧压系数；
rP——煤柱屈服区宽度，m。
求解屈服区界面应力的平衡方程为
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
联立上述各式，求得煤柱屈服区宽度计算公式为
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
由式（2.21）可见，在煤柱的不同高度，其塑性区宽度是不相等的；在煤柱的上、下界面rP最小，在煤柱的中性面rP最大，因此在计算中，屈服区宽度应取大的来考虑，即取中性面，把z=0代入（2.21）式得
水及动力荷载作用下浅伏采空区围岩变形破坏研究
式中：rP——煤柱屈服区宽度，m；
h——冒落高度，m；
β——屈服区与核区界面处的侧压系数；
σzl——煤柱极限强度，MPa；
c——黏聚力，MPa；
φ——煤层与顶底板接触面的摩擦角；
Px——煤壁的侧向约束应力，MPa。
由式（2.22）可知，影响煤柱屈服区宽度的因素有5个，即煤柱高度、煤柱极限强度、侧向约束力、煤层与顶底板接触面的黏聚力和摩擦角。其影响规律为
（1）煤柱越高，屈服区宽度就越大；
（2）煤柱的极限强度越大，屈服区愈向核区发展，宽度就越大；
（3）煤壁侧向约束力越大，屈服区宽度越小，因此顶板冒落，或充填有利于提高煤柱的稳定性；
（4）煤柱与顶底板接触面的黏聚力越大，对屈服区的扩展约束也越大，其宽度就越小；
（5）煤柱与顶底板接触面摩擦角的影响与黏聚力大体一致。
2.3.3.3 煤柱破坏失稳方式分析
在顶板岩层荷载的作用下，煤柱边缘首先开始屈服、垮落，导致有效承载面积（煤柱核区）减小，应力集中程度相应增加，而应力的增加又会迸一步扩大煤柱屈服区的宽度，减少煤柱核区宽度，这种煤柱边缘逐步屈服或垮落，有可能导致煤柱由外向里逐步破坏，当煤柱的有效支撑面积减小到一定程度而失去支撑强度时，在上覆岩层的重力作用下，就会产生突发性失稳。
（1）完整结构拉伸破坏：当煤柱处于水平状态，煤柱内无明显结构面（节理、裂隙等弱面），煤层上覆岩层为较完整的岩体，随着煤炭被采出，上覆岩层的荷载逐步向煤柱上转移，煤柱轴向压应力增加，导致横向拉应力加大，当横向拉应力超过岩石抗拉强度时，煤柱就会发生拉伸破坏。
（2）弱面结构剪切破坏：当煤柱处于倾斜状态，煤柱内存在具有贯通性的弱面（节理、裂隙等弱面），或在上覆岩层荷载的作用下在煤柱内产生剪切弱面，并且这些弱面足以对煤柱稳定性构成影响时，在上覆岩层荷载的作用下，当破坏面上的剪应力超过其抗剪强度时，煤柱就会沿弱面产生滑移破坏。