matlab求解一个非线性方程问题.....

Question

现在遇到一个比较复杂的非线性方程，如下：
tan(theta)=(D+A)*((1-D^2)*(1-A^2))^(-1/2);
D=sqrt((2*z-1)/z^2);
A=1/(2*z-1)^(1/2*k);

其中，theta=46.5*pi/180; k=0.21
最终求出z的值。(z应该是大于1的值)
思路:我用solve求解了半天没有算出结果，可能是没有解析解；用fsolve求解初值不知道如何选取；请大神帮助啊....

Answer 1

由D,A可知z>1/2

将原非线性方程转化为tan²Î¸*(1-D²)*(1-A²)=(D+A)²

其中，D=√[(2*z-1)/z²]=√(2*z-1)/z，A=1/(2*z-1)^(1/2*k)

令f(z)=tan²Î¸*(1-D²)*(1-A²)-(D+A)²ï¼Œz>1/2

找z的初值可先绘制函数f(z)的图像

 

%f(z)在[0.505,1.5]上的图像

clear

z=0.505:0.001:1.5;

k=0.21;

theta=46.5*pi/180;

D=sqrt(2*z-1)./z;

A=1./(2*z-1).^(k/2);

f=tan(theta)^2*(1-D.^2).*(1-A.^2)-(D+A).^2;

plot(z,f)

grid on

 

明显函数在该区间无零点．注意到函数有一极大值和一极小值

用fminbnd命令可求出极值点与极值：

当z=0.559071364951272时，极大值f(z)=-3.873681569517792

当z=0.797989261049623时，极小值f(z)=-4.101806518882230

可以看到当z>0.797989261049623时，曲线上升，将作图区间改为[0.505,60]，得到下图

 

 

容易看出方程的根在z=50附近．下面用fzero命令求解（相对fsolve效果较好）

 

function f=nl(z,k,theta)

D=sqrt(2*z-1)./z;

A=1./(2*z-1).^(k/2);

f=tan(theta)^2*(1-D.^2).*(1-A.^2)-(D+A).^2;

 

clear

k=0.21;

theta=46.5*pi/180;

z0=fzero(@(z)nl(z,k,theta),50)

 

z0 =50.809922902973383，即为原方程的根．

z0是否为方程的唯一实根？

考察当z>0.797989261049623时，函数f(z)的单调性

直接对f(z)求导比较麻烦，容易判断的是：当z充分大时，D与A均单调递减

故f(z)=tan²Î¸*(1-D²)*(1-A²)-(D+A)²ï¼Œz>1/2单调递增．当z→+∞时，f(z)→tan²Î¸â‰ˆ1.1105

z= tan²Î¸ä¸ºè¯¥æ›²çº¿çš„水平渐近线