有关数论的基础性问题~

Question

1. 若ac同余于bc（mod m） 则当（c，m）=1时，a同余于b（mod m）
2. ac同余于bc（mod mc） 则 a同余于b（mod m）

请问这两条不是矛盾吗？

另请帮助解一下这个方程：
X同余于3 （mod 4）且X同余于9 （mod 25）

多谢~
若a同余于b（mod m）则ac同余于bc（mod mc）
若a同余于b（mod m）则ac同余于bc（mod m）

请问以上两条是否也是矛盾？多谢~

Answer 1

不矛盾，这种用表达式很清楚：
以下k是任意整数。
1. 若ac同余于bc（mod m） 则当（c，m）=1时，a同余于b（mod m）
　　可设ac= km +bc
当（c，m）=1时, 则显然　k必是c的倍数。
　　所以a=(k/c)m b

2. ac同余于bc（mod mc） 则 a同余于b（mod m）
可设ac= kmc +bc
　则a=km +b

问题补充： 以下都是对的

若a同余于b（mod m）则ac同余于bc（mod mc）
　　可设a=km +b,
则ac= kmc +bc
若a同余于b（mod m）则ac同余于bc（mod m）
　　可设a=km +b,
则ac= （kc）m +bc

Answer 2

1. (c, m) = 1 根据欧几里德算法可知，存在 c^(-1) mod m
ac = bc (mod m)两边同乘以 c^(-1) 可得结论
2. 因为 ac = bc (mod mc) 所以 mc | (ac - bc) 不妨设 a > b
即 mc | (a - b)c
所以 m | a - b
所以 a = b (mod m)

两者不矛盾，后者如果写成前者的形式的话，条件是 c | m
由于(c, m) = 1 和 c | m 并不是等价的，所以两者意义不同
而且 mod mc 与 mod m 差别很大的

这个方程组根据孙子定理就可以直接解出来
找个公式一套就行，很简单，就不说了