如果知道一个特征值的特征向量的话，很多时候都是不可求的，少数是可求的。
可求的情况：矩阵为对称矩阵，无其他的特征值于知道特征向量的特征值相同时，且其他的特征值相同，可求。
因为不同的特征值的特征向量正交。故特征向量的转置对应的齐次线性方程组的解、即为其他特征值的特征向量，规范正交化后，得一个正交矩阵P。
则A=PB(P^T)，其中B为特征值为对角线上的元素构成的对角矩阵。
这个方法概况为求出所有特征值的特征向量，逆用对角化的公式可解。
扩展资料：
特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量 。
线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。特征值的几何重次是相应特征空间的维数。有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。
在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。
参考资料来源：百度百科——特征向量