设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)×f(y)，当且只当x＞0时，0＜f(x)＜1成立

Question

（1）求证：f(0)=1
（2）x＜0时，比较f(x)与1的大小
（3）判断函数f(x)在R上的单调性，并予以证明
（第一问会，f(0+1)=f(1)=f(0)×f(1) f( 0)=1）是不是？

Answer 1

1、f(x+y)=f(x)f(y)
令y=0，得：f(x)=f(x)f(0)
因为f(x)不恒为0；
所以：f(0)=1
2、f(x+y)=f(x)f(y)
令y=-x，得：f(0)=f(x)f(-x)
由（1）f(0)=1，得：f(x)=1/f(-x)
不妨令x<0，则-x>0，
因为x>0时，0<f(x)<1
所以：0<f(-x)<1
则：1/f(-x)>1
即f(x)>1
所以，x<0时，f(x)>1
3、由（1）（2）：x<0时，f(x)>1；x=0时，f(x)=1；x>0时，0<f(x)<1；
所以：f(x)恒正；
令x1<x2，则x1-x2<0，
由（2）知f(x1-x2)>1
x1=x1-x2+x2
f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)f(x2)
则f(x1-x2)=f(x1)/f(x2)
因为f(x1-x2)>1
所以：f(x1)/f(x2)>1
因为f(x)恒正，所以：f(x2)>0
所以：f(x1)>f(x2)
即x1<x2时，f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在R上是单调递减的。

祝你开心！希望能帮到你。。。

Answer 2

（1)
由题意f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)，因为f(1)≠0，所以f(0)=1
（2)
对任意x<0，有 f(0)=f(-x + x)= f(-x)f(x) = 1，
所以 f(x) = 1/f(-x)
因为此时 -x>0，所以 0<f(-x)<1
所以 f(x) = 1/f(-x) > 1

（3）
设x1<x2，则x1-x2<0，f(x1-x2)>1
f(x1) = f[x2+x1-x2] = f[x2] f[x1-x2]
f[x1]/f[x2]=f[x1-x2]>1
所以f(x1)>f(x2)
所以函数f（x）在R上是减函数。
（4）
f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2）
= [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2)
=[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0
即 （f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）
作差比较大小
f（x1）=f（x1/2 + x1/2）= [ f(x1/2) ]^2
f（x2）=f（x2/2 + x2/2）= [ f(x2/2) ]^2
2f（（x1+x2）/2）= 2f(x1/2) f(x1/2)
所以
f（x1）+f（x2）- 2f（（x1+x2）/2）
= [ f(x1/2) ]^2 + [ f(x2/2) ]^2 - 2f(x1/2) f(x1/2)
=[ f(x1/2) - f(x1/2) ]^2 ≥0
即 （f（x1）+f（x2））/2 ≥ f（（x1+x2）/2）

Answer 3

设函数f（X)是定义域在R上的函数，且对于任意实数x y都有f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时，0<f(x)<1。
（1）证明x<0时，f(x)>1
(2)证明f(x)是R上的减函数
(3)设集合M=P{（x，y）\f(x^2)·f(y^2)>f(1)},P={（x，y）\f(ax-y+2)=1,a属于R}，且M与P交集为空集，求a的取值范围。

Answer 4

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