第1个回答 2011-03-07
设x,y,z是正实数,且x+y+z=1,m,n是正整数且不同时为1。求证:
x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n).
设x,y,z是正实数,且x+y+z=1,m,n是正整数且不同时为1。
求证:
x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n).
证明 对于三元轮换对称,共有两种形式,即
P=x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n (1)
Q=x^n*y^m+y^n*z^,+z^n*x^m (2)
P-Q=T*(x-y)*(y-z)*(z-x)
T是各种正的x,y,z的全对称式,这个证明很繁杂,书写不便,举几例说明吧.
例1:y^4*z+z^4*x+x^4*y-y*z^4-z*x^4-x*y^4
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*.
例2:y^4*z^2+z^4*x^2+x^4*y^2-y^2*z^4-z^2*x^4-x^2*y^4
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*(y+z)*(z+x)*(x+y).
例3:y^5*z^2+z^5*x^2+x^5*y^2-y^2*z^5-z^2*x^5-x^2*y^5
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*.
例4:y^6*z+z^6*x+x^6*y-y*z^6-z*x^6-x*y^6
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*.
例5:y^7*z+z^7*x+x^7*y-y*z^7-z*x^7-x*y^7
=(x-y)*(y-z)*(z-x)*.
于是可得
当x<y<z,m<n时,总有P>Q;
当x<y<z,m>n时,总有P<Q;
当x>y>z,m>n时,总有P>Q;
当x>y>z,m<n时,总有P<Q.
因此我们只需证明当x>y>z,m>n,
P=x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n). (3)
即可。
先证 当x>y>z,m>n,f(x,y,z)≤f(x+z,y,0) (4)
当x>y>z,易知m≥2有
(x+z)^m≥x^m+mzx^(m-1)≥x^m+2zx^(m-1)则
f(x+z,y,0)-f(x,y,z)=(x+z)^m*y^n-(x^m*y^n+y^m*z^n+z^m*x^n)
≥2x^(m-1)*y^n*z-y^m*z^n-z^m*x^n
=zy^n+zy^m+x^n*y^n*z+zx^n>0,
故(4)成立。
再证当x>y>z,m>n,f(x+z,y,0)≤m^m*n^n/(m+n)^(m+n). (5)
f(x+z,y,0)=f(1-y,y,0)=(1-y)^m*y^n
=**
≤*^(m+n)
=m^m*n^n/(m+n)^(m+n)。
易验证当x=m/(m+n),y=n/(m+n),z=0时(5)式取等号.