矩形纸片ABCD中，点P在AD上，且∠APB=70°，分别沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C

Question

矩形纸片ABCD中，点P在AD上，且∠APB=70°，分别沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C．设∠A′PD′=α，∠BCD′=β，则β=______．（用含α的式子表示）

Answer 1

解答：解：当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC内部，如图1，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°+β，
∵沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

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（90°+β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

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（90°-β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

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（90°-β），
∴β=50°-α；
同理得到当点D′在矩形ABCD外部，点A′在△PDC外部时，∠DPA′-∠A′PD′=∠DPC+∠D′PC，即40°-α=2×

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（90°-β），
∴β=50°+α；
当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC内部，如图2，
∵∠BCD′=β，
∴∠DCD′=90°-β，
∵沿PB，PC将△PAB，△PDC翻折180°，得到△PA′B，△PD′C，
∴∠A′PB=∠APB=70°，∠DCP=∠DCP=

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（90°-β），∠DPC=∠D′PC，
∴∠DPA′=180°-2×70°=40°，∠DPC=90°-∠DCP=

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（90°+β），
∵∠A′PD′+∠DPA′=∠DPC+∠D′PC，
∴α+40°=2×

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（90°+β），
∴β=α-50°；
同理当点D′在矩形ABCD的内部，点A′在△PDC外部时，有β=α+50°，
综上所述，β=50°±α或β=α-50°．
故答案为β=50°±α或β=α-50°．