物理运动问题

Question

如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车C，在车上的左端放有一木块B。车左边紧邻一个固定在竖直面内、半径为R的圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平。现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞。两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止。已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，小车C的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略。求：⑴木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小。⑵木块A、B在车上滑行的整个过程中，系统摩擦生的热是多少（问下：摩擦生热是否要用 相对位移算）

Answer 1

解：（1）取向右的方向为正方向。
木块A从圆弧轨道的顶端滑至最底端，其机械能守恒，
由 mgR = (1/2) × mv² 得：木块A 与 B 碰撞时的速度为：
v = √ 2gR （方向向右）

A 与B 碰撞后立即粘在一起，属完全非弹性碰撞，动能损失最大。
由动量守恒定律 mv = ( m + 2m ) v共 知：
A 与B 碰撞后立即粘在一起、二者的共同速度为：
v共 = mv / ( m + 2m )
= v / 3
= √ 2gR / 3 （方向向右）

（2）对 （ A + B ） 和 C 组成的系统来说，
系统在水平方向上不受外力，系统动量守恒。
由 （ m + 2m ）v共 = （ m + 2m + 3m ） V共 得：
三者最终共同速度为：V共 = v共 / 2
= √ 2gR / 6 （方向向右）

系统摩擦生的热为：Q = 系统动能变化量△E
= 1/2 × （ m + 2m ）v共² -- 1/2 × （ m + 2m + 3m ） V共²
= 1/2 × 3m × ( √ 2gR / 3 )² -- 1/2 × 6m × ( √ 2gR / 6 )²
= mgR / 6 ( 摩擦生热不用 相对位移算）

Answer 2

解：（1）取向右的方向为正方向。
木块A从圆弧轨道的顶端滑至最底端，其机械能守恒，
由 mgR = (1/2) × mv² 得：木块A 与 B 碰撞时的速度为：
v = √ 2gR （方向向右）

A 与B 碰撞后立即粘在一起，属完全非弹性碰撞，动能损失最大。
由动量守恒定律 mv = ( m + 2m ) v共 知：
A 与B 碰撞后立即粘在一起、二者的共同速度为：
v共 = mv / ( m + 2m )
= v / 3
= √ 2gR / 3 （方向向右）

（2）对 （ A + B ） 和 C 组成的系统来说，
系统在水平方向上不受外力，系统动量守恒。
由 （ m + 2m ）v共 = （ m + 2m + 3m ） V共 得：
三者最终共同速度为：V共 = v共 / 2
= √ 2gR / 6 （方向向右）

系统摩擦生的热为：Q = 系统动能变化量△E
= 1/2 × （ m + 2m ）v共² -- 1/2 × （ m + 2m + 3m ） V共²
= 1/2 × 3m × ( √ 2gR / 3 )² -- 1/2 × 6m × ( √ 2gR / 6 )²
= mgR / 6