一道小学的数论题

Question

已知：（a，b）=12，【a，b】=1500【b，c】=1500，那么满足上述条件的自然数，a，b，c有多少组？？
要写过程，谢谢。（a，b）是a和b的最大公因数的意思，【a，b】是a和b的最小公倍数的意思，以此类推。

Answer 1

（a，b）=12，【a，b】=1500
1500÷12=125
125=5×5×5
这几步可以这样理解：
（a，b）=12，说明a和b里都有若干个12；
【a，b】=1500，1500÷12=125，如果说a是12的X倍，b是12的Y倍，那么XY=125
那么X和Y可能有几种可能呢？
125=5×5×5
第一种，X=1，Y=125，此时a=12,b=1500，
第二种，X=5，Y=25，此种情况排除，因为这样的话，a和b的最大公因数就不是12，而是12×5=60（可以验证，此时a=60,b=300,(a,b)=60 )
第三种，X=25，Y=5，此种情况同样排除，理由同上。
第四种，X=125，Y=5，此时a=1500，b=12.
针对一、四两种情况展开讨论。
当b=1500时，【b，c】=1500较易满足，只要C为b的因数即可（倍数关系时，两数最小公倍数是两数中较大的数）
1500=2×2×3×5×5×5，共有3×2×4=24个因数。因此C有24种取值可能。则a,b,c的可能分别为
12,1500,1
12,1500,2
12,1500,3
12,1500，4
12,1500,5
12,1500,6
12,1500,10
……
12,1500,1500
当b=12时，【b，c】=1500，
因为12的因数有1,2,3,4,6,12，且1500÷12=125
所以c可能为125×1=125
125×2=250，
125×3=375，
125×4=500，
125×6=750
125×12=1500，共六种可能。

因此共有24+6=30种。

呵呵，速度吃饭去了。老婆叫了。

Answer 2

AB=【a，b】/（a，b）=1500/12=125
再讨论即可