线性方程组与它的增广矩阵的秩有什么关系吗？他们之间有什么联系吗，我的意思是它会影响到线性方程组的解

Question

线性方程组与它的增广矩阵的秩有什么关系吗？他们之间有什么联系吗，我的意思是它会影响到线性方程组的解吗，如果能影响，具体是怎么影响的？请用最通俗的话来解释，最好不要涉及到线性无关与线性相关以及向量的相关知识！

Answer 1

有关系，这是定理。
如果线性方程组的系数矩阵和其增广矩阵有相同的秩，则此方程组才有解。进一步，若r（系数矩阵）=r（增广矩阵）=n，则有唯一解；若r（系数矩阵）=r（增广矩阵）<n,则有无穷解。若r（系数矩阵）不等于r（增广矩阵），则无解。（其中n为未知数的个数）。我刚考完研，没记错的话应该是这样的。追问

你这个都是结论啊，但是我想知道这里面有什么内在关系啊？顺便问一下你是哪个学校的啊？考哪个学校，我也准备考研

追答

内在联系？我不太清楚，我只知道结论，就会做题就够了，呵呵。我考的山东大学，我已经考过了，成绩马上就出来了

Answer 2

你应该知道, 线性方程组可以表示成向量的形式: x1a1 + x2a2+ ...... + xnan = b
( 其中ai 是 方程组中未知量 xi 的系数 构成的列向量 )
那么方程组有解 <==> x1a1 + x2a2+ ...... + xnan = b 有解
<==> b 可由 a1, a2, ..., an 线性表示
<==> 向量组a1, a2, ..., an 与 a1, a2, ..., an ,b 等价
<==> 矩阵 (a1, a2, ..., an) 与 (a1, a2, ..., an ,b) 秩相同
矩阵 (a1, a2, ..., an) 与 (a1, a2, ..., an ,b) 分别是方程组的系数矩阵和增广矩阵,
所以 线性方程组有解 <==> 增广矩阵的秩 = 系数矩阵的秩本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

内在联系的话， 你去找这个关系的推导证明就好了， 书上应该会有的