如何使用matlab画出三维空间中离散点的包络面?

Question

如题所述

Answer 1

如何使用 MATLAB 画出三维空间中离散点的包络面？

问题的关键在于理解三维空间的包络面。它不仅囊括所有坐标点，还应被视作一个类立方体表面，或者是一般封闭体的表面，由所有边缘点构成的集合。每个三维坐标点的确定，涉及四个在特定区间内取值的随机变量。

直观地，可能尝试通过随机实验生成大量点来观察分布，但结果往往难以捕捉到包络面的形态。随机散点图提供的是一个大致轮廓，理论上通过增加实验次数，可以观察到点集外缘的光滑。然而，这并不构成精确的包络面。

那么，是否有可能通过精确量化的方式直接描绘出包络面？答案是肯定的，但需转换思路。三维空间的包络面，除了囊括所有坐标点，还应理解为在坐标轴上取值范围内的边缘面集合。

具体到给定坐标点时，通过求解坐标值的边缘面，即在特定坐标值下的最大值和最小值。这需要深入分析表达式，发现其取值范围。通过简化最优化问题，可以发现最大「贡献」的条件。这个「贡献」实质上是一个约束规划问题，可以通过求解非线性约束规划函数，如 MATLAB 的 fmincon 来解决。

推荐的解法是拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method），具体步骤请自行查阅。最终实现结果和相关代码如下：

实现结果和相关代码请忽略配色问题。